AcWing1027.方格取数

题目描述

设有 $N\times N$ 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字$0$。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数$N$，表示 $N\times N$ 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 $1$ 开始。

一行“$000$”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

$N\le 10$

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

67

算法

数字三角形模型

$f[i1,j1,i2,j2]$定义为 : 从$(1,1)$,$(1,1)$​​走到$(i1,j1),(i2,j2)$​​能获得的最大花生数目.
这里我们可以设两个人同时走，然后得出$k=i1+j1=i2+j2$
所以我们用$k$这一维来表示步数和，通过$k,i1,i2$计算出$j1,j2$。
由上面的两条性质可以推出三维的状态转移方程

（图片来自yxc大佬）

得出代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 11;
int f[2 * N][N][N];//第一维为后两维之和，所以开两倍
int w[N][N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int a, b, c;
    while (cin >> a >> b >> c && a || b) w[a][b] = c;
    
    for(int k = 2; k <= 2 * n; k ++ )
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++ )
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++ )
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                int t = w[i1][j1] + w[i2][j2] * (i1 != i2);
                if(j1 >= 1 && j1 <= n && j2 > 0 && j2 <= n)
                {
                    int &x = f[k][i1][i2];
                    x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
                    x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
                    x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
                    x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
                }
            }
    printf("%d\n", f[n + n][n][n]);
    return 0;
}