NR 物理层编码 S2 - 线性码-EW帮帮网

参考：

2.线性分组码-码距_哔哩哔哩_bilibili

这里主要增加了 pyhton部分

1: 码距

2： 线性分组码性质

3：纠错检错能力

4: 生成矩阵和监督矩阵

5：伴随式和校正子

一码距

码距

许用码字之间的距离称为码字

汉明距离

两个n元码字两者之间的汉明距离为D

码字1： $w_1=a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0$

码字2: $w_2= b_{n-1}b_{n-2}..b_1b_0$

$D(w_1,w_2)=\sum_{i}^{n}(a_i+b_i)$

二线性分组码性质

1.1 重要定义

1.2 重要性质

自反性

比如 $w_1+w_1=0$

对称性

$w_1+w_2=w_2+w_1$

三角不等式

比如码字 $w_1,w_2,w_3$

$D(w_1,w_2)+D(w_2,w_3)>D(w_1,w_3)$

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Sep  6 11:11:40 2022

@author: chengxf2
"""
import torch

'''
求汉明距离
args
  w1: 许用码字1
  w2: 需用码字2 
'''
def module(w1,w2):
    
    w1 = torch.ByteTensor(w1)
    w2 = torch.ByteTensor(w2)
    num = w1.shape[0]
    dist = 0
    for index in range(num):
        a = w1[index]
        b = w2[index]  
        c =a^b
        if c>0:
            dist = dist+1

    print("\n 汉明距离 :",dist)
    
w1 = [1,1,0]
w2=  [1,0,1]
module(w1,w2)

三纠错和检错能力

3.1 若线性分组码能检测出任一码字中的小于等于r位错误，则应满足

$d_{min}\geq \bigl(\begin{smallmatrix} r+1 \end{smallmatrix}\bigr)$

原理：

假设发送码字为C, 发送了r位错误,满足上面条件，则接收到的码字

肯定就在禁用码字集合中，不属于许用码字集合。

如下列，最小码距为2的spc码

许用码字集合为

000 110 011 110

当发送110时候，接收方收到的数据有一位发送错误

变成了001,100 ,111 此刻都在禁用码字集合中，能够发现错误。

3.2 若线性分组码能纠正任一码字中小于等于t位误码，则

$d_{min} \geq 2t+1$

纠错的原理是码距最近原则：

同样如上图,当收到100的时候，出错了，但是这个时刻

100 距离 110 ,000 码距都是1，此刻无法判断出到原码字到底是

哪个.

所以它的约束条件需要满足 $d_{min} \geq 2t+1$

这个译码设计原则需要特别注意,它有的场景和概率论里面的二项分布是冲突的.

3.3 检错+纠错

四生成矩阵和监督矩阵

4.1 生成矩阵

输入的二进制bit流用向量 $u=[u_1,u_2,..u_k]$ 表示

通过生成矩阵G得到码字

$c=uG$

$c=[c_1,c_2,..c_n]$

系统生成矩阵原理

G=[I,Q] 大小 [k,n]

I : 取原来信息,Q 主要作用监督

$p_1=\sum_{i=1}^{k}u_i a_{i1}$

$p_2=\sum_{i=1}^{k}u_i a_{i2}$

.....

$p_r=\sum_{i=1}^{k}u_i a_{ir}$

4.2 校验矩阵

原理

$Hc^T =0$

$H=[Q^T,I_{r}]$

例

Q1 输入 u[1101] ，求输出的码字

$c=uG$

$=[1101001]$

Q2：接收到的码字为[1101 010] 问是否出错

$Hc^T=$ [011]

出错

五伴随式和校正子

5.1 架构

编码矩阵G(k,n),监督元长度r=n-k

错误图样： $E=[e_1,e_2,...e_n]$ 信道传输带来的随机噪声

接收码字 $R=C+E$

伴随式（校正子)

$S=HR^T=H(C+E)^T$

$=HC^T+HE^T$

$=HE^T$

为[r,1] 的向量，则对应 $2^r$ 种组合，每一种组合叫做一个校正子

5.2 检错原理

$s \neq [o]_r$ 肯定发送错误

$s=[0]_r$ 不一定传输正确

因为如果E 也是许用码字， $HE^T=0$

5.3 纠错原理

根据S的结果,查表得到E,根据E,利用下面公式推导出原来发送的码字

$C=R+E$

5.4 标准阵

收到的信息认为是 R=C+E

当发生错误的时候，可以根据R的标准阵直接查表得到C,

其中陪集首代表只有1位发生错误的错误图样

七例子：

已知（6,3）系统编码矩阵G

1: 求校验矩阵H

$H=[Q^T,I_r]$

2: 分析误码差错控制能力

因为H中任意两列不相同，3列线性相关，

$[110]+[101]=[011]$

所以 $d_{min}=3$ ,则

检错能力为2，纠错能力为1

见程序

3： 1位误码所有的错误图样

见程序

E[1]: [1, 0, 0, 0, 0, 0] 错误图样 S[1]: [1, 1, 0]

E[2]: [0, 1, 0, 0, 0, 0] 错误图样 S[2]: [1, 0, 1]

E[3]: [0, 0, 1, 0, 0, 0] 错误图样 S[3]: [0, 1, 1]

E[4]: [0, 0, 0, 1, 0, 0] 错误图样 S[4]: [1, 0, 0]

E[5]: [0, 0, 0, 0, 1, 0] 错误图样 S[5]: [0, 1, 0]

E[6]: [0, 0, 0, 0, 0, 1] 错误图样 S[6]: [0, 0, 1]

4 写出所有的错误图样

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Sep  8 11:04:28 2022

@author: chengxf2
"""
import numpy  as np

'''
模二加法
'''
def module(u,g):
      n = np.dot(u,g.T)
      #print("\n n: ",u,g)
      return n%2
'''
编码过程
'''    
def encode(u,G):
     G = np.array(G)
     u = np.array(u)
     
     
     k,n = G.shape[0],G.shape[1]

     #print("\n k: %d  n: %d"%(k,n))
     
     code =[]
     for index in range(n):
         
         g = G[:,index]
         if index<k:
             a = u[index]
         else:
             a = module(u,g)
         code.append(a)
     return code
 

'''
译码过程
'''
def decode(E,H):
    
     E= np.array(E)
     H = np.array(H)
    
     m,n = np.shape(H)
     S =[]
     for index in range(m):
         
         p = H[index,:]
         r = module(E,p)
         S.append(r)
     return S


if __name__ =="__main__":
    
    uList =[[0,0,0],
            [0,0,1],
            [0,1,0],
            [1,0,0],
            [0,1,1],
            [1,1,0],
            [1,1,1]]
    
    G = [[1,0,0,1,1,0],
         [0,1,0,1,0,1],
         [0,0,1,0,1,1]]
    
    H = [[1,1,0,1,0,0],
         [1,0,1,0,1,0],
         [0,1,1,0,0,1]]
    for u in uList:
        code =encode(u,G)
        print("\n 信息: ",u,"\t 输出码字: ",code)
        
        
    EList =[[1,0,0,0,0,0],
            [0,1,0,0,0,0],
            [0,0,1,0,0,0],
            [0,0,0,1,0,0],
            [0,0,0,0,1,0],
            [0,0,0,0,0,1]]
    
    for E in EList:
        
        S =decode(E,H)
        print("\n E, ",E,"\t S",S)

4 假设收到的码字为[001110],求正确码字为

$S=HR^T$

=[1,0,1]

查表得到E

E[2]: [0, 1, 0, 0, 0, 0] 错误图样 S[2]: [1, 0, 1]

$C=R+E$

$=[0,1,0,0,0,0]+[0,0,1,1,1,0]$

=[0,1,1,1,1,0]

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