在之前我们分析拉普拉斯函数时，我们一直提到一个概念：复变函数。今天，我们站在数学物理的角度，去探讨这个内容。
（提前预告吧，为了系统的学习声学的相关概念，我熬夜三天复习数学物理方法，高等数学，，泪目。为之后更新声学基础，我们要有足够的前置条件，望见谅）
一.复数
可能这个概念有点简单了。在高中，或者在电工学中对电流，电压的复数表示相信一定折磨了大家许久。复数的向量表示，复数的计算，复数的开方运算........诸如此类，不一而足。而我们要研究的复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数 ，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复数的定义：
我们把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
（1）复数的发现及基本概念
(纯虚数单位)
x:实部 y：虚部 即ReZ = x ， ImZ = y 所以Z = ReZ + iImZ
复数的模长 ｜Ｚ｜ ＝ （Ｘ＾２ ＋ Ｙ＾２）＾（１／２）
复共轭（complex conjugation） Z* = X - iY
所以X = （Z + Z*）/ 2 ,Y = (Z -Z*)／２
（2）表示方法
除基本表示外，我们引入向量表示，点坐标表示，三角函数表示()，复指数(
)表示。此处不再赘述。
（３）复数的运算
加法法则
复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
除法法则
复数除法定义：满足的复数复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，即（分母实数化）。
开方法则（这一条我们需要使用复数的复指数表示）
阶乘法则（这里我们使用复数的三角函数表示形式）
令则
二.复变函数
设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。
对于z∈A,ƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像，记为ƒ(A)。函数ƒ规定了A与ƒ(A)之间的一个映。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果ƒ(A)∈A*，称ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，则称ƒ把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ，如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异，则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为ƒ的反函数，记为z=ƒ-1(w)。设ƒ(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的，如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。
复变函数是一个大的范围，后续会花大量时间去讲解