【34. 完全背包】

思路

• 0 1 背包在进行状态计算时，集合的划分，是第i个选择1个还是0个进行划分
• 完全背包问题的状态表示与0 1背包一样，状态计算中的集合划分不一样（由于第i个物品有无限个，可以按照第i个物品选多少个进行划分，分成若干组,第一块代表第i个物品选择1个，第二块代表第i个物品选2个）
• k是枚举的第i个物品的个数，因为有容量限制，所以不可能无限大，不能超过背包容量
  

题目

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        {
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
            {
                f[i][j] = max(f[i ][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

优化为二维

我们列举一下更新次序的内部关系：

• 之前要枚举K个状态，现在只需要枚举俩个状态就可以
  

注意：

• 0 1 背包都是从i - 1层转移过来
• 完全背包是从第i层转移过来
  

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}

优化为一维

• 这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的核心代码

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}

两个代码其实只有一句不同（注意下标）

• f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包
• f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

因为和01背包代码很相像，我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样

for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

综上所述，完全背包的最终写法如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}

完全背包与多重背包

• 完全背包问题不可以用单调队列优化， 而多重背包问题可以用单调队列优化
  • 在多重背包里面求的时候是求滑动窗口的内的最大值(滑动窗口一般可以用单调队列优化)
  • 完全背包是求从1开始的最大值，每次多一个数，求前面所有的最大值，这个可以用一个变量来存