实分析

0 实数系完备性定理与达布积分

0.1 稠密性与完备性

稠密性：
两个不同数之间总存在第三个数，如有理数、无理数、实数都具有稠密性.

完备性(连续性)：
两个不同数之间不存在第三个数，如实数.
Tips: 完备未必稠密，如自然数集，康托尔三分集等.

0.2 六个等价的实数系完备性定理

0.2.1 Cauchy收敛准则

{ x n } \{x_n\} {xn​} 为基本列 $\iff \forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},\mathrm{s}.\mathrm{t}.\forall m,n>N:|x_n-x_m|<\epsilon$ $\iff$ { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛.

0.2.2 单调有界收敛原理

单调有界数列必收敛.

0.2.3 闭区间套定理

若 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an​,bn​]} 形成一个闭区间套，即 $[a_n,b_n]\subseteq [a_{n-1},b_{n-1}]$，则 $\exists !\xi \in [a_n,b_n](n\in {\mathbb{N}}^{+})$，且 $\xi =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n.$

0.2.4 确界存在定理

非空有上(下)界数集必有上(下)确界.

0.2.5 Bolzano-Weierstrass定理(凝聚定理/聚点定理/致密性定理)

有界数列必有收敛子列.

${\mathbb{R}}^n$中任意有界无限点集必有聚点.(这里的聚点指的是子列极限点)

0.2.6 Heine–Borel有限覆盖定理

一族开集 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 是闭集 $E$ 的一个(无限)开覆盖，即 $E\subseteq \bigcup _{k\in \Lambda }{I}_k$，则必可以从 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中选择有限个开区间来覆盖 $E$.

0.3 Darboux积分

设 $f$ 为定义在区间 $[a,b]$ 的函数，$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ 为区间$[a,b]$ 的一个划分，
$$M_i=\underset{{}_{x\in [x_{i-1},x_i]}}{\sup }f(x),m_i=\underset{{}_{x\in [x_{i-1},x_i]}}{\inf }f(x)$$
记
$$U(f,P)=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})M_i,L(f,P)=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})m_i$$
为达布上下和. 记
U f = inf ⁡ { U ( f , P ) } = ∫ a b ‾ f ( x ) d x   ,   L f = sup ⁡ { L ( f , P ) } = ∫ a b ‾ f ( x ) d x U_f=\inf{\{U(f,P)\}}=\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x\ ,\ L_f=\sup{\{L(f,P)\}}=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x Uf​=inf{U(f,P)}=∫ab​​f(x)dx , Lf​=sup{L(f,P)}=∫ab​​f(x)dx
为达布上下积分.

若 $U_f=L_f$ ，则称 $f$ 达布可积.

1 集合理论

1.1 集合关系与运算

子集：

“A含于B” = “B包含A” = “A是B的子集” ;

“A真含于B” = “B真包含A” = “A是B的真子集” ;

注意：符号 $\subset$ 非严格符号，不同教材中存在不同含义.

$$\begin{array}{rl}\forall a\in A:a\in B& \iff A\subseteq BorA⫅B\\ A\subseteq B\wedge A\ne B& \iff A⊊BorA⫋B\end{array}$$

并集：
A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B } ,   ⋃ α ∈ Λ A α = { x : ∃ k ∈ Λ ,   s . t .   x ∈ A α } A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\},\ \bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha=\{x:\exists k\in\Lambda,\ \mathrm{s.t.}\ x\in A_\alpha\} A∪B={x:x∈A∨x∈B}, α∈Λ⋃​Aα​={x:∃k∈Λ, s.t. x∈Aα​}

交集：
A ∩ B = { x : x ∈ A ∧ x ∈ B } ,   ⋂ α ∈ Λ A k = { x : ∀ k ∈ Λ , x ∈ A α } A\cap B=\{x:x\in A \wedge x\in B\},\ \bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_k=\{x:\forall k\in\Lambda,x\in A_\alpha\} A∩B={x:x∈A∧x∈B}, α∈Λ⋂​Ak​={x:∀k∈Λ,x∈Aα​}

差集：
A \ B = A ∩ B c = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B } A\backslash B=A\cap B^c=\{x:x\in A \wedge x\notin B \} A\B=A∩Bc={x:x∈A∧x∈/​B}

余集：
A c = R \ A = R − A = { x : x ∈ R ∧ x ∉ A } A^c=\R\backslash A=\R-A=\{x:x\in \R \wedge x\notin A\} Ac=R\A=R−A={x:x∈R∧x∈/​A}

直积 (笛卡尔积)：
A × B = { ( a , b ) : a ∈ A ∧ b ∈ B } A\times B=\{(a,b):a\in A\wedge b\in B\} A×B={(a,b):a∈A∧b∈B}

交换律：
$$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$$

结合律：
$$\begin{gathered} A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C \\ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C \end{gathered}$$

分配律：
$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

De Morgan(德摩根)律：
$${\left(\bigcup _{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }\right)}^c=\bigcap _{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }^c,{\left(\bigcap _{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }\right)}^c=\bigcup _{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }^c$$

1.2 映射

设 $X,Y$ 为两个非空集合，若存在一种对应法则 $f$，使得每个 $x\in X$ 都有唯一的 $y\in Y$ 与之对应，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，记为
$$\begin{array}{rl}f:X& \to Y\\ \forall x& \mapsto \exists !y=f(x)\end{array}$$
$y=f(x)$ 称 $x$ 在映射 $f$ 下的像，$x$ 称 $y$ 的原像；

$X$ 为定义域， I m f = f ( X ) = { f ( x ) : x ∈ X } \mathrm{Im}f=f(X)=\{f(x):x\in X\} Imf=f(X)={f(x):x∈X} 为值域 或 像集 $\subseteq Y$为陪域.

若 $\mathrm{I}\mathrm{m}f=f(X)=Y$，则映射为满射；

若 $\forall x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2:f(x_1)\ne f(x_2)$，则称映射为单射；

若即为单射又为满射称双射，又称 一 一映射.

映射 $f:X\to Y$ 为双射 $\iff$ 存在逆映射 $f^{-1}$.

若 $f:X\to Y,g:Y\to Z$，则复合映射
$$\begin{array}{rl}g\circ f:X& \to Z\\ x& \mapsto z=g(f(x))\end{array}$$.

1.3 集的基数与对等

若存在一个由集合 $X$ 到 $Y$ 的双射，则称 $X$ 与 $Y$ 对等(亦称等势)，记为 $X\sim Y$，规定空集 $\Phi \sim \Phi$.

对等关系是一种等价关系，满足反身性：$X\sim X$，对称性：$X\sim Y\Rightarrow Y\sim X$，传递性： $X\sim Y\sim Z\Rightarrow X\sim Z$.

元素相等的两个有限集对等.

无限集存在一个真子集与之对等. 如：正整数集与偶数集

$0$ (空集$\Phi$的势/基数) < $n$ (n元有限集的势，或称基数, $n\in {\mathbb{N}}^{+}$) < ${\aleph }_0$ (可列集的势，读作阿列夫零) < $\aleph$ (无限集的势)

康托尔-伯恩斯坦-施罗德(Cantor-Bernstein-Schroeder)定理：

$A,B\ne \Phi$, $A\sim B$ 的一个子集，$B\sim A$ 的一个子集，则 $A\sim B$.
即 $\stackrel{=}{A}⩽\stackrel{=}{B},\stackrel{=}{A}⩾\stackrel{=}{B}\Rightarrow \stackrel{=}{A}=\stackrel{=}{B}.$

1.4 有限集与可列集

有限集： n个元素，n为非负整数，即与集合 { 1 , 2 , ⋯   , n } \{1,2,\cdots,n\} {1,2,⋯,n}对等；否则为无限集.

可列集(可数集)： 无限集元素能按照某种规律排成一个序列;与自然数集 $\mathbb{N}$ 对等；否则为不可列集.

至多可数集： 有限集与可列集的统称.

1.5 集合语言描述

$f$ 是定义在 $E$ 上的函数

f ( E ) = { f ( x ) : x ∈ E } f(E)=\{f(x):x\in E\} f(E)={f(x):x∈E}

---

$f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，在 $[a,b]$ 有上界 $M$，即 $\forall x\in [a,b]:f(x)⩽M$

[ a , b ] ⊆ { x : f ( x ) ⩽ M } [a,b]\subseteq \{x:f(x)\leqslant M\} [a,b]⊆{x:f(x)⩽M}

---

$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，取定 $x_0\in \mathbb{R}$，即 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta ),|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

( x 0 − δ , x 0 + δ ) ⊆ { x : ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ } (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq \{x:|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\} (x0​−δ,x0​+δ)⊆{x:∣f(x)−f(x0​)∣<ϵ}
$f((x_0-\delta ,x_0+\delta ))\subseteq (f(x_0)-\epsilon ,f(x_0)+ϵ)$

---

$f$ 在 $\mathbb{R}$ 定义，在 $\mathbb{R}$ 有上界 $M$

R = { x : f ( x ) ⩽ M } = { x : f ( x ) ⩽ M + 1 } \mathbb{R}=\{x:f(x)\leqslant M\}=\{x:f(x)\leqslant M+1\} R={x:f(x)⩽M}={x:f(x)⩽M+1}

---

$(a,b)=\bigcup _{n=1}^{\infty }[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}]$

proof:

$LHS\subset RHS:$
$\forall x\in (a,b),x-a>0,b-x>0$
∃ n ∈ N , s . t .   1 n < min ⁡ { x − a , b − x } \exists n\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\ \frac{1}{n}<\min\{x-a,b-x\} ∃n∈N,s.t. n1​<min{x−a,b−x}
即 $x\in [a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}]$

$RHS\subset LHS:$
$\forall x\in \bigcup _{n=1}^{\infty }[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}],\exists n\in \mathbb{R},\mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in [a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}]\subseteq (a,b)$

---

⋃ λ ∈ Λ A λ = { x : ∃ x ∈ Λ , s . t .   x ∈ A λ } ⋂ λ ∈ Λ A λ = { x : ∀ x ∈ Λ : x ∈ A λ } \begin{aligned} {\color{red}\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}}A_{\lambda}&=\{x:{\color{red}\exists} x\in\Lambda,\mathrm{s.t.\ }x\in A_{\lambda}\} \\{\color{red}\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}}A_{\lambda}&=\{x:{\color{red}\forall} x\in\Lambda :x\in A_{\lambda}\} \end{aligned} λ∈Λ⋃​Aλ​λ∈Λ⋂​Aλ​​={x:∃x∈Λ,s.t. x∈Aλ​}={x:∀x∈Λ:x∈Aλ​}​

eg1:
{ f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 为定义在 $E$ 上的函数列，若 x ∈ E ,   { f n ( x ) } x\in E,\ \{f_n(x)\} x∈E, {fn​(x)} 有界 $\iff \exists M>0,\mathrm{s}.\mathrm{t}.\forall n\in \mathbb{N}:|f_n(x)|⩽M$
⇔ ⋃ M ∈ R + ⋂ n = 1 ∞ { ∣ f n ( x ) ∣ ⩽ M } \Leftrightarrow\displaystyle\bigcup\limits_{M\in\mathbb{R^+}}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\{|f_n(x)|\leqslant M\} ⇔M∈R+⋃​n=1⋂∞​{∣fn​(x)∣⩽M}

eg2:
{ f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 为 $E$ 上的函数列，$x$ 使 $f_n(x)$ 收敛于 $0$ 的点，即
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , s . t . ∀ n ⩾ N : ∣ f n ( x ) ∣ < ε   ⇔   ⋂ ε ∈ R + ⋃ N ∈ N ⋂ n ⩾ N { ∣ f n ( x ) ∣ < ε } \forall \varepsilon >0,\exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\forall n\geqslant N:|f_n(x)|<\varepsilon\ \\ \Leftrightarrow\ \displaystyle\bigcap\limits_{\varepsilon\in\mathbb{R^+}}\bigcup\limits_{N\in\mathbb{N}}\bigcap\limits_{n\geqslant N}\{|f_n(x)|<\varepsilon\} ∀ε>0,∃N∈N,s.t.∀n⩾N:∣fn​(x)∣<ε ⇔ ε∈R+⋂​N∈N⋃​n⩾N⋂​{∣fn​(x)∣<ε}

{ x : lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) ≠ 0   o r   ∄ } = D e   M o r g a n ⋃ ε ∈ R + ⋂ N ∈ N ⋃ n ⩾ N { ∣ f n ( x ) ∣ ⩾ ε } \{x:\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne 0\ or\ \nexists\}\xlongequal{De\ Morgan}\displaystyle\bigcup\limits_{\varepsilon\in\mathbb{R^+}}\bigcap\limits_{N\in\mathbb{N}}\bigcup\limits_{n\geqslant N}\{|f_n(x)|\geqslant\varepsilon\} {x:n→∞lim​fn​(x)​=0 or ∄}De Morgan ε∈R+⋃​N∈N⋂​n⩾N⋃​{∣fn​(x)∣⩾ε}

1.6 集合列的上下极限

数列的上下极限：

lim ⁡ ‾ n → ∞ a n = lim sup ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ k ≥ n { a k } = inf ⁡ n ≥ 1 sup ⁡ k ≥ n { a k } lim ⁡ ‾ n → ∞ a n = lim inf ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ inf ⁡ k ≥ n { a k } = sup ⁡ n ≥ 1 inf ⁡ k ≥ n { a k } \begin{aligned} &\overline{\lim}_{n\to\infty}a_n=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k\ge n}\{a_k\}=\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\{a_k\} \\ &\underline{\lim}_{n\to\infty}a_n=\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\inf\limits_{k\ge n}\{a_k\}=\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge n}\{a_k\} \end{aligned} ​limn→∞​an​=n→∞limsup​an​=n→∞lim​k≥nsup​{ak​}=n≥1inf​k≥nsup​{ak​}lim​n→∞​an​=n→∞liminf​an​=n→∞lim​k≥ninf​{ak​}=n≥1sup​k≥ninf​{ak​}​

集合列上下极限：
lim sup ⁡ n → ∞ A n = inf ⁡ n ≥ 1 sup ⁡ k ≥ n { A k } = ⋂ n ≥ 1 ⋃ k ≥ n A k lim inf ⁡ n → ∞ A n = sup ⁡ n ≥ 1 inf ⁡ k ≥ n { A k } = ⋃ n ≥ 1 ⋂ k ≥ n A k \limsup\limits_{n\to\infty}A_n=\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\{A_k\}=\bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{k\ge n}A_k \\ \liminf\limits_{n\to\infty}A_n=\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge n}\{A_k\}=\bigcup_{n\ge 1}\bigcap_{k\ge n}A_k n→∞limsup​An​=n≥1inf​k≥nsup​{Ak​}=n≥1⋂​k≥n⋃​Ak​n→∞liminf​An​=n≥1sup​k≥ninf​{Ak​}=n≥1⋃​k≥n⋂​Ak​

2 点集拓扑概念

2.1 欧式空间与度量空间

一维欧式空间 $(\mathbb{R},d):x,y,z$
$$d(x,y)=|x-y|$$

数列极限: $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x\iff \underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,x)=0$

二维欧式空间 $({\mathbb{R}}^2,d):x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)$
$$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}$$

n维欧式空间 $({\mathbb{R}}^n,d):x=(x_1,\cdots ,x_n),y=(y_1,\cdots ,y_n)$
$$d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2}$$

三角不等式： (两边之和大于第三边，可由Cauchy不等式证明)
$$0⩽d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z)$$

邻域： U ( P 0 , δ ) = { P : d ( P , P 0 ) < δ } U(P_0,\delta)=\{P:d(P,P_0)<\delta\} U(P0​,δ)={P:d(P,P0​)<δ}

两个非空点集的距离： d ( E , F ) = inf ⁡ { d ( x , y ) : x ∈ E , y ∈ F } d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\} d(E,F)=inf{d(x,y):x∈E,y∈F}

非空点集直径： $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E=\underset{P,Q\in E}{\sup }d(P,Q)$

有界点集： $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E<+\infty$

2.2 内点、外点、边界点

内点： 若 $\exists U(P_0,\delta )\subseteq E$，则称 $P_0$ 为数集 $E$ 的内点。$E$ 所有内点构成的集合称为 内域，记作 $E^{\circ }$.

外点： 若 $P_0$ 是 $E^c$ 的内点，则称 $P_0$ 为数集 $E$ 的外点。所有外点集合记作 $(E^c{)}^{\circ }$.

边界点： 既非内点也非外点，即 $\forall U(P_0,\delta )$ 既有属于$E$的点也有不属于 $E$ 的点，则称 $P_0$ 为数集 $E$ 的边界点。所有边界点集合称为 边界，记作 $\partial E$.

2.3 聚点、孤立点

聚点： $P_0$ 的任一邻域都含有无穷多个属于 $E$ 的点.

$\iff$ $P_0$ 的任一邻域至少含有一个属于 $E$ 而异于 $E$ 的点.

孤立点：$P_0$ 属于 $E$，但不是 $E$ 的聚点，即 $E\backslash E^{\prime }$.

2.4 导集、闭包、自密集、完全集

导集： $E$ 的一切聚点构成的集合，记作 $E^{\prime }$.

闭包： $E\cup E^{\prime }$，记作 $\overline{E}$.

自密集：$E\subseteq E^{\prime }$ ，即集合中每个点都是这个集的聚点.

完备集(完全集)： $E^{\prime }=E$. 完备集为自密闭集，即没有孤立点的闭集.

2.5 开集、闭集、紧集

开集(open set)： $E$ 的每一点都是 $E$ 的内点.

闭集(closed set)： $E$ 的每一个聚点都属于 $E$. $\iff$ 余集 $E^c$ 为开集.

紧集(compact set)： 任一族覆盖 $E$ 的开集，若可从中选出有限个开集仍然覆盖 $E$，则 $E$ 为紧集. (或表述为：若 $E$ 的任意开覆盖，都存在有限子覆盖，则 $E$ 为紧集.)

2.6 康托尔三分疏朗集

稠密：

疏朗集：

3 测度论

3.0 引

长度(面积，体积)公理：

(1) 非负性：$m(E)⩾0$
(2) 有限可加性：$E_k$ 两两不相交，$m\left(\bigcup _{k=1}^n{E}_k\right)=\sum _{k=1}^{n}m(E_k)$
(3) 正则性：$m([a,b])=b-a$

Lebesgue测度公理：

(1) 非负性：$m(E)⩾0$
(2) 可列可加性：$E_n$ 两两不相交，$m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m(E_n)$
(3) 正则性：$m([a,b])=b-a$

3.1 外测度

Lebesgue外测度：

$$m^{\ast }(E)=\underset{{}_{E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }{I}_k}}{\inf }\left\{\sum _{k=1}^{\infty }|I_k|\right\}$$

非负性：$m^{\ast }(E)⩾0,m^{\ast }(\Phi )=0$

单调性：$E\subseteq F\Rightarrow m^{\ast }(E)⩽m^{\ast }(F)$

次可列可加性：$m^{\ast }\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n\right)⩽\sum _{n=1}^{\infty }{m}^{\ast }(E_n)$

3.2 可测集

3.2.1 Lebesgue可测集

$E\subseteq {\mathbb{R}}^n,\forall opensetI\supseteq E,m_{\ast }(E)=|I|-m^{\ast }(I-E)$

3.2.2 Carathéodory(卡拉泰奥多里)可测集

$pointsetE\subseteq {\mathbb{R}}^n,\forall pointsetT,m^{\ast }(T)=m^{\ast }(T\cap E)+m^{\ast }(T\cap E^c)$，则称点集 $E$ 是 $\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{e}$ 可测的. 此时 $E$ 的 $L$ 外测度 $m^{\ast }(E)$ 称为 $L$ 测度 $m(E)$，$L$ 可测集全体记为 $\mathcal{M}$.

3.2.3 可测集的运算

$S$ 可测 $\iff S^c$ 可测；

proof:
$$\begin{array}{r}{m}^{\ast }(T)=m^{\ast }(T\cap S)+m^{\ast }(T\cap S^c)=m^{\ast }(T\cap (S^c{)}^c)+m^{\ast }(T\cap S^c)\end{array}$$

$S_1,S_2$ 可测，则 $S_1\cup S_2$ 可测；当 $S_1\cap S_2=\Phi ,\forall T$，
$$m^{\ast }[T\cap (S_1\cap S_2)]=m^{\ast }(T\cap S_1)+m^{\ast }(T\cap S_2)$$
$S_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 可测，则 $\bigcup _{i=1}^n{S}_i$ 可测；且当 $S_i\cap S_j=\Phi (i\ne j)$时，对于任意集合 $T$ 总有
$$m^{\ast }\left(T\cap \left(\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right)\right)=\sum _{i=1}^n{m}^{\ast }(T\cap S_i)$$

$S_1,S_2$ 可测，则 $S_1\cap S_2$ 可测.
$S_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 可测，则 $\bigcap _{i=1}^n{S}_i$ 可测.

$S_1,S_2$ 可测，则 $S_1\backslash S_2=S_1-S_2$ 可测.

$E$ 可测 $\iff \forall A\subset E,B\subset E^c,m^{\ast }(A\cup B)=m^{\ast }(A)+m^{\ast }(B)$

3.3 sugma-代数

3.4 不可测集

4 可测函数

4.1 定义

定义：
∀   a ∈ R   , { x : x ∈ E , f ( x ) > a } = 记 E [ f > 0 ] \forall\ a\in\mathbb{R}\ ,\{x:x\in E,f(x)>a\}\xlongequal{_{记}}E[f>0] ∀ a∈R ,{x:x∈E,f(x)>a}记​ E[f>0] 可测，则 f : E → R ∪ { − ∞ , + ∞ } f:E\to\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\} f:E→R∪{−∞,+∞} 为定义在 $E$ 上的可测函数.
其中 $a$ 为有限实数，$f(x)\in (a,+\infty ]$，$f(x)$ 可以取得 $+\infty$.

$f$ 可测的充要条件：

$\forall x\in \mathbb{R},E[f⩽a]$ 可测.

proof: $E[f⩽a]=(E[f>a]{)}^c$

4.2 可测函数运算