计算机科学中的数学之：图像处理与计算机视觉

发布于：2023-10-25 ⋅ 阅读:(99) ⋅ 点赞:(0)

作者：禅与计算机程序设计艺术

1.背景介绍

近年来，随着人工智能技术的不断进步，图像处理领域也得到了快速发展。图像处理主要涉及三大类领域：数字图像处理、特征提取与匹配、机器视觉。其中，计算机视觉（Computer Vision）就是图像处理的一个子领域，包括物体检测、图像分割、目标跟踪等。计算机视觉利用光学、声音、颜色、空间结构等各种信息获取图像的结构和内容。图像处理技术的应用十分广泛，如身份证件照的面部识别、全身像素的跟踪、人脸识别、监控视频的分析、遥感影像的增强等。

为了更好地理解图像处理与计算机视觉，本文从多个方面对图像处理与计算机视istics进行深入学习探索。在本文中，作者将会回顾整个图像处理与计算机视觉的发展历史，介绍图像处理的基本概念、特征、分类方法、主要算法以及流程，并通过实例对这些技术进行实践验证，最后介绍未来的发展方向和挑战。

2.核心概念与联系

2.1 图像的表示与存储

图像是对客观事物的一组像素点构成的矩阵，它代表了图像信号或摄象机设备获取到的原始数据。图像可以有多种表示方式，常用的有二值图(Binary Image)、灰度图(Gray-Scale Image)、彩色图(Color Image)。如下图所示：
图像的存储方式一般有以下几种：

  • 矩形阵列(Raster Image): 图像按照像素矩阵的形式存在内存或硬盘上，行和列按顺序排布，称为矩形阵列。
  • 矢量化图像(Vectorial Image): 在矢量图像中，像素按照直线或曲线的轨迹表示，没有特定网格。这种图像可以任意放缩，适用于不同分辨率下的显示。
  • 栅格(Grid) 是图像的一种表现形式。栅格是由四个坐标轴所定义的一种空间划分方法。栅格是对坐标轴的离散化表示。每个像素用坐标点表示，坐标点由四个维度（X轴、Y轴、Z轴、时间轴）来定义。

2.2 图像的基本属性与转换

属性

图像的基本属性包括：宽度、高度、色深度、通道数、尺寸大小、色彩空间。

  • 宽度(Width): 表示图片宽度的像素数量。通常为偶数，如640×480。
  • 高度(Height): 表示图片高度的像素数量。通常为偶数，如640×480。
  • 色深度(Depth): 表示图像的色彩层级。色深度是一个整数，范围为1到8。
  • 通道数(Channels): 表示图像的颜色模式。有的图像有3通道，即RGB三个颜色通道，有的图像有4通道，即RGBA四个颜色通道。通道数决定了图像中有多少个颜色层。
  • 尺寸大小(Size): 表示图像的大小。单位一般为像素(px)，宽乘高。
  • 色彩空间(Color Spaces): 表示颜色的空间。RGB色彩空间由红、绿、蓝三个颜色通道组成，表示颜色在计算机显示器上的分布；HSV色彩空间将颜色表示为色调、饱和度、明度三个参数，常用于计算机图形学中。

转换

图像的转换可分为两大类：缩放(Scaling)与旋转(Rotation)。图像缩放的过程是指将图像缩小或放大到指定尺寸。图像旋转的过程是指将图像按照一定角度进行旋转，使图像变换为另外一种视角。如下图所示：

2.3 图像的抽象与运算

图像的抽象与运算分为以下几个步骤：

  • 特征提取(Feature Extraction): 从图像中提取有效的信息，消除干扰因素。如边缘检测、角点检测、颜色和空间频率、区域生长、模糊、噪声等。
  • 特征描述(Features Descriptors): 将提取出的特征进行描述，便于机器学习处理。如HOG描述符、SIFT特征、SURF特征等。
  • 特征匹配(Feature Matching): 特征匹配是将描述符匹配到对应的特征点，用于图像重建或定位。
  • 识别对象(Object Recognition): 通过分析特征描述符，确定图像中所包含对象的位置、大小、形状等。如物体检测、目标跟踪、语义分割等。
  • 后处理(Post-Processing): 对识别结果进行后处理，如去噪、融合、优化等。

2.4 数字图像处理与计算机视觉

图像处理与计算机视觉是两个相关但又不同的领域。

  • 图像处理： 它通过一系列的图像处理算法，对传感器或摄像头捕获到的图像进行加工、修改、增强、编辑、修复等处理，并最终输出有价值的图像或信号。图像处理通过对像素的处理来实现图像的重建、过滤、压缩、恢复等功能。图像处理的任务之一是将摄像头拍摄的图像经过处理后生成数字图像，如可以用于文字识别、信息检索、图像重建、增强现实等。
  • 计算机视觉： 它是指利用电脑、传感器、计算机视觉系统以及图像处理算法来模拟人的视觉感知能力。它借助计算机对图像进行处理、分析和识别，以达到自动、无人驾驶、机器人视觉导航等目的。计算机视觉研究的内容很多，从低纬度视觉系统（如相机、激光雷达）到高纬度视觉系统（如人类视网膜、神经网络）都有涉及。其任务之一是在密集环境下快速识别物体、建模三维世界、理解人类视觉、处理图像、语音、文本等。

3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解

3.1 直方图与阈值分割

直方图(Histogram)是统计图形学中的一个概念。它以灰度级为横坐标，将图像上某个像素的强度出现次数作为纵坐标绘制出的图形。直方图反映出各个灰度级对应的像素数目，可以直观反映出图像中颜色分布的概率分布。如下图所示：

图像的阈值分割(Threshold Segmentation)是图像分析中的重要技术。它通过设定一个阈值，将图像中的像素值分为两部分：背景(background)与前景(foreground)。背景对应于阈值以下的像素值，前景对应于阈值以上或等于的像素值。通过阈值分割，可以获得有意义的区域信息，例如背景、物体、显著性变化等。阈值分割常见的方法有局部阈值法、全局阈值法、自适应阈值法等。

3.2 边缘检测

边缘检测(Edge Detection)是图像分析中常用的一种算法。它可以检测出图像的边缘、角点等，在计算机视觉、模式识别、图像增强等领域都有很大的应用。常见的方法有基于拉普拉斯算子的Canny算子、基于梯度的Sobel算子、基于空间曲率的Hessian算子等。Sobel算子是计算图像边缘强度的一种简单方法。它通过求图像梯度的幅值和方向来检测图像的边缘。如下图所示：

3.3 分水岭算法

分水岭算法(Watershed Algorithm)是图像分割中常用的一种方法。它是一种迭代算法，通过判断区域连通性，从而将图像中像素划分为若干个整体区域。如下图所示：

3.4 HOG特征与SIFT特征

HOG特征(Histogram of Oriented Gradients,简称HOG)与SIFT特征(Scale-Invariant Feature Transform,简称SIFT)是两种常用的图像描述符。它们都是专门为目标检测和机器视觉设计的特征，具有以下几个特点：

  • 表达力: 可以提取出图像中空间分布和方向分布的信息，但是需要手工设计的参数较少。
  • 鲁棒性: 不受外界因素的影响，即使环境光变化或尺度变化，也可以保持不变。
  • 计算速度: 计算复杂度低，可以实时处理。

HOG特征的特点是能够检测出图像中的全局线段和边缘，并且能够检测出局部线段和边缘。它的工作原理是：首先计算图像的梯度幅值和方向，然后根据梯度幅值与方向产生直方图，最后从直方图中选择特征点。特征点的选取标准是最大响应值（即梯度幅值最大值），同时特征点只能被选中一次。因此，HOG特征具有高分辨率和大范围的适用性，适用于很多应用场景。

SIFT特征的特点是能够检测出图像中全局线段和局部线段，但是不能检测出边缘。它的工作原理是：首先计算图像的梯度幅值和方向，然后根据梯度幅值与方向产生直方图，再用不失真的插值机制计算差异图像，最后从差异图像中选取特征点。特征点的选取标准是局部相关性，特征点可以被选中多次。因此，SIFT特征具有相对鲁棒性和高精确度，适用于某些特定应用场景。

3.5 普通域、灰度反差域、谱域、傅里叶域

频域(Frequency Domain)是信号的频率特性，通过对信号的周期性和非周期性进行分析。图像处理中常用的频域变换有普通域、灰度反差域、谱域、傅里叶域等。

普通域(Laplace Domain): 最简单的一种频域变换。它通过对图像做差分，得到一阶导数，再进行平方和开根号运算，可以得到图像的强度和边缘信息。但是由于对噪声敏感，而且无法反映灰度变化的真实性。如下图所示：

灰度反差域(Deviation Domain): 通过对图像做平方运算，得到灰度变化的强度，并通过对每一个灰度值减去均值，得到灰度变化的幅度，可以得到图像的强度信息。这样可以很好的抗噪声，但是不能反映灰度变化的真实性。如下图所示：

谱域(Spectrum Domain): 属于傅里叶变换的一部分，通过将图像在频率域进行FFT计算，得到图像的功率谱。它通过对信号的频谱进行分解，可以提取出信号的不同频率成分，可以很好的提取图像的各种频率信息。但是由于FFT计算复杂度高，而且无法反映灰度变化的真实性。如下图所示：

傅里叶域(Fourier Domain): 属于傅里叶变换，通过对图像做DFT计算，得到图像的频谱。它通过对信号进行傅里叶变换，将图像表示成不同频率成分的加权和，可以很好的提取图像的各种频率信息，还可以反映出灰度变化的真实性。如下图所示：

3.6 形态学操作与分水岭算法

形态学操作(Morphological Operations)是图像分析中常用的一类算法。它通过对图像的轮廓进行操作，对图像中特定的区域进行修补，或者填充图像中的缺陷。常见的形态学操作有腐蚀、膨胀、开运算、闭运算、顶帽、底帽等。下图展示了一些形态学操作的效果。

分水岭算法(Watershed Algorithm)是一种图像分割算法，主要用来标记图像中的独立物体。它的主要思想是先找到图像的边缘，然后根据边缘连通性进行标记，每个区域内像素值为最大值的点为独立物体的中心点。分水岭算法的实现比较复杂，本文暂不展开。

4.具体代码实例和详细解释说明

4.1 Canny边缘检测算法

Canny边缘检测算法是一种基于强度和方向两个指标的图像边缘检测算法。它的具体步骤如下：

  1. 计算图像梯度幅值和方向。梯度幅值可以衡量边缘强度，方向可以刻画边缘的弧度。
  2. 使用非极大值抑制(Non-Maximum Suppression，NMS)来消除可能的错误边缘。NMS只是删除局部最大值，保留局部最小值，方便接下来进行边缘连接。
  3. 使用双阈值检测来找出边缘。双阈值检测通过设置两个阈值来分别检测边缘和非边缘。
  4. 使用边缘连接来连接弱边缘。边缘连接是指通过比较边缘强度的差异，将弱边缘连接到强边缘上。
  5. 用滞后的阈值检测来进一步细化边缘。滞后阈值检测是指最后一步增加的阈值来逐渐细化边缘。
import cv2

def canny_edge_detection(img):
    # step 1: compute gradient magnitude and direction
    grad_x = cv2.Sobel(img, ddepth=-1, dx=1, dy=0, ksize=3)
    grad_y = cv2.Sobel(img, ddepth=-1, dx=0, dy=1, ksize=3)
    abs_grad_mag = cv2.magnitude(grad_x, grad_y)
    dir_theta = cv2.phase(grad_x, grad_y, angleInDegrees=True)

    # step 2: non-maximum suppression
    edge_mask = np.zeros_like(abs_grad_mag)
    h, w = img.shape[:2]
    for i in range(h):
        for j in range(w):
            if (i == 0 or i == h - 1 or j == 0 or j == w - 1):
                continue
            if ((dir_theta[i][j] <= 225 and dir_theta[i+1][j-1] >= 135 and
                 dir_theta[i+1][j] >= 45 and dir_theta[i+1][j+1] <= 315) or
                (dir_theta[i][j] > 225 and dir_theta[i+1][j-1] < 45 and
                 dir_theta[i+1][j] < 315 and dir_theta[i+1][j+1] > 135)):
                    edge_mask[i][j] = 1

    # apply NMS to get rid of spurious edges
    nms_kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_RECT,(3,3))
    edge_mask = cv2.morphologyEx(edge_mask, cv2.MORPH_OPEN, nms_kernel)

    # step 3: double threshold detection
    low_thresh = 0.1 * cv2.mean(abs_grad_mag)[0]
    high_thresh = 0.2 * cv2.max(abs_grad_mag)
    thresholded_edges = cv2.adaptiveThreshold(abs_grad_mag, 1, cv2.ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C,
                                                cv2.THRESH_BINARY, blockSize=9, C=low_thresh)
    _, contours, _ = cv2.findContours(thresholded_edges, cv2.RETR_LIST, cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE)

    # find the largest contour that contains most of the image area
    max_area = -1
    for cnt in contours:
        x, y, w, h = cv2.boundingRect(cnt)
        rect_area = w*h
        if rect_area > max_area and rect_area/img.size > 0.05:
            max_area = rect_area
            large_contour = cnt

    # mask out all other pixels outside the largest contour
    masked_edges = np.zeros_like(thresholded_edges)
    cv2.drawContours(masked_edges, [large_contour], 0, color=(255), thickness=-1)

    # step 4: hysteresis thresholding to refine final result
    dist_transform = cv2.distanceTransform(edge_mask, distanceType=cv2.DIST_L2, maskSize=3)
    ret, binary_img = cv2.threshold(dist_transform, 0.7*dist_transform.max(), 255, cv2.THRESH_BINARY)
    binary_img = cv2.cvtColor(binary_img, cv2.COLOR_GRAY2BGR)
    edge_map = cv2.addWeighted(img, 0.5, binary_img, 0.5, 0)

    return edge_map

4.2 Harris角点检测算法

Harris角点检测算法是一种检测和描述二维图像中空间直方图的角点的方法。它的主要思路是将图像的像素值与周围的8邻域进行比较，如果一对像素满足某种特殊的角点描述符的要求，那么这个像素就可能是角点。角点描述符包括两个：

  • 第一类：角点强度和方向。这一类描述符衡量的是角点的强度和方向。
  • 第二类：角点沿着边缘方向的强度。这一类描述符衡量的是角点沿着一条边缘方向的强度。
import numpy as np
import cv2

def harris_corner_detection(img):
    grayscale = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    grayscale = np.float32(grayscale) / 255.0
    dst = cv2.cornerHarris(grayscale, 2, 3, 0.04)

    # result is dilated for marking the corners, not important
    dst = cv2.dilate(dst, None)

    # Threshold for an optimal value, it may vary depending on the image.
    img[dst > 0.01*dst.max()]=[0,0,255]

    return img

4.3 SIFT特征提取算法

SIFT(Scale-Invariant Feature Transform)特征提取算法是一种计算机视觉的特征描述算法。它的主要思想是通过建立描述子之间的距离依赖关系，来提取图像特征。SIFT特征描述器包括以下几个阶段：

  1. 标准化: 对输入图像进行归一化，使得像素值在0~1之间，方便描述子的构建。
  2. 关键点检测: 检测图像中可能具有特征的关键点，并描述这些关键点的坐标及其方向。
  3. 关键方向确定: 根据关键点的描述符，计算出关键点的特征方向。
  4. 关键点描述: 根据关键点的方向，计算出关键点的特征描述符。
  5. 关键点筛选: 为了避免重复的描述子，使用特征比率和中心差异两个标准进行特征筛选。
import cv2

def sift_feature_extraction(img):
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    sift = cv2.xfeatures2d.SIFT_create()
    kp, des = sift.detectAndCompute(gray,None)
    img=cv2.drawKeypoints(img,kp,outImage=np.array([]),flags=cv2.DRAW_MATCHES_FLAGS_DRAW_RICH_KEYPOINTS)

    return img,des

5.未来发展趋势与挑战

随着图像处理技术的不断发展，当前计算机视觉领域处于蓬勃发展的阶段。图像处理技术的应用范围越来越广，应用的场景越来越复杂。图像处理技术的应用遍及众多领域，如：医疗诊断、增强现实、目标检测、图像搜索、图像质量评估、图像编辑、图像压缩、图像合成与重建、图像分类、图像压缩、图像配准等。图像处理技术已经成为许多应用领域的基础技术。

在计算机视觉中，图像处理技术的应用还有许多方面的挑战。第一个是数据量和计算能力的限制。随着传感器、摄像头、处理器等硬件的不断升级，单个图像的大小也在逐渐扩大，传感器的分辨率也在逐步提高。此外，单张图像的计算能力也在急剧提升。当图像的分辨率和计算能力超过一定限度时，仍然无法完成实时的图像处理。

另一个挑战是算法的复杂度。对于图像处理算法，有些算法需要花费大量的时间才能收敛。例如，对于SIFT特征提取算法来说，其时间复杂度是O(Nk^2)，其中N是图像中的关键点数，k是描述子长度。随着关键点数的增加，计算时间的增长更是难以忍受。另一个例子是RANSAC算法，它的求解时间与数据的一致性成正比。当数据不一致时，算法的性能就会下降。

第三个挑战是模型和理论之间的不匹配。在实际应用中，图像处理的效率依赖于理论模型的正确性和有效性。如何针对具体应用场景，结合理论和实际，设计出有效的图像处理算法仍然是计算机视觉领域中的重要研究课题。

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