高等代数复习：多项式矩阵

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

多项式矩阵

基本定义和性质

定义：多项式矩阵（$\lambda$ 阵）
形如以下的矩阵
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}(\lambda )& a_{12}\lambda & \cdots & a_{1n}(\lambda )\\ a_{21}(\lambda )& a_{22}\lambda & \cdots & a_{2n}(\lambda )\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}(\lambda )& a_{m2}\lambda & \cdots & a_{mn}(\lambda )\end{array}\right)$$

称为多项式矩阵，或称 $\lambda$ 矩阵，记为 $A(\lambda )$，其中 $a_{ij}(\lambda )$ 是以 $\lambda$ 为未定元的数域 $\mathbb{K}$ 上的多项式

定义：多项式矩阵的初等变换
初等行（列）变换

1. 将 $A(\lambda )$ 的两行（列）对换
2. 将 $A(\lambda )$ 的第 $i$ 行（列）乘以非零常数 $c\in \mathbb{K}$
3. 将 $A(\lambda )$ 的第 $i$ 行（列）乘以 $\mathbb{K}$ 上的多项式 $f(\lambda )$ 后加到第 $j$ 行（列）

定义：相抵
若 $A(\lambda ),B(\lambda )$ 是同阶 $\lambda$ 阵且 $A(\lambda )$ 经 $\lambda$ 阵的初等变换后可变为 $B(\lambda )$，则称 $A(\lambda )$ 与 $B(\lambda )$ 相抵

定义：初等 $\lambda$ 阵

1. 将 $n$ 阶单位阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行对换，记为 $P_{ij}$
2. 将 $n$ 阶单位阵的第 $i$ 行乘以非零常数 $c\in \mathbb{K}$，记为 $P_i(c)$
3. 将 $n$ 阶单位阵的第 $i$ 行乘以多项式 $f(\lambda )$ 后加到第 $j$ 行上去得到的矩阵，记为 $T_{ij}(f(\lambda ))$

命题
对 $\lambda$ 阵 $A(\lambda )$ 施加第1，2，3类初等行（列）变换等效于用第1，2，3类初等 $\lambda$ 阵左（右）乘 $A(\lambda )$

定义：可逆 $\lambda$ 阵
若 $A(\lambda ),B(\lambda )$ 都是 $n$ 阶 $\lambda$ 阵，且
$$A(\lambda )B(\lambda )=B(\lambda )A(\lambda )=I_n$$

则称 $B(\lambda )$ 是 $A(\lambda )$ 的逆 $\lambda$ 阵

性质

1. 有限个可逆 $\lambda$ 阵之积仍为可逆 $\lambda$ 阵
2. 初等 $\lambda$ 阵必为可逆 $\lambda$ 阵

相抵标准型

命题：$\lambda$ 阵的带余除法
设 $M(\lambda ),N(\lambda )$ 是两个 $n$ 阶 $\lambda$ 阵且不为零，又设 $B$ 为 $n$ 阶数字矩阵，则必存在 $\lambda$ 阵 $Q(\lambda ),S(\lambda )$ 和数字矩阵 $R,T$，使得
$$M(\lambda )=(\lambda I-B)Q(\lambda )+R$$

$$N(\lambda )=S(\lambda )(\lambda I-B)+T$$

定理
设数域 $\mathbb{K}$ 上的矩阵 $A,B$，则 $A,B$ 相似当且仅当 $\lambda$ 阵 $\lambda I-A$ 与 $\lambda I-B$ 相抵

证明
必要性易证，考虑充分性，设存在 $M(\lambda ),N(\lambda )$，使得
$$M(\lambda )(\lambda I-A)N(\lambda )=\lambda I-B$$

由带余除法
$$M(\lambda )=(\lambda I-B)Q(\lambda )+R$$

整理得
$$R(\lambda I-A)=(\lambda I-B)[N(\lambda {)}^{-1}-Q(\lambda )(\lambda I-A)]$$

比较两端关于 $\lambda$ 的多项式次数，可得 $P\triangleq N(\lambda {)}^{-1}-Q(\lambda )(\lambda I-A)$ 是常数矩阵

再次整理得
$$(R-P)\lambda =RA-BP$$

比较次数得 $R=P,RA=BP$，只需证 $P$ 是一个非异阵，由于
$$PN(\lambda )+Q(\lambda )(\lambda I-A)N(\lambda )=I$$

但$$(\lambda I-A)N(\lambda )=M(\lambda {)}^{-1}(\lambda I-B)$$

因此
$$PN(\lambda )+Q(\lambda )M(\lambda {)}^{-1}(\lambda I-B)=I$$

由带余除法$$N(\lambda )=S(\lambda )(\lambda I-B)+T$$

得
$$[PS(\lambda )+Q(\lambda )M(\lambda {)}^{-1}](\lambda I-B)=I-PT$$

上式右侧是次数小于等于零得矩阵多项式，故左边括号内的矩阵多项式必须为零，从而 $PT=I$，即 $P$ 是非异阵

引理
设 $A(\lambda )=(a_{ij}(\lambda ){)}_{m\times n}$ 是任意非零 $\lambda$ 阵，则 $A(\lambda )$ 必相抵于如下的 $\lambda$ 阵 $B(\lambda )=(b_{ij}(\lambda ){)}_{m\times n}$，其中 $b_{11}(\lambda )\ne 0$，且 $b_{11}(\lambda )$ 可整除 $B(\lambda )$ 中的任意元素

定理：$\lambda$ 阵的相抵标准型
设 $n$ 阶 $\lambda$ 阵 $A(\lambda )$，则 $A(\lambda )$ 相抵于对角阵
d i a g { d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , … , d r ( λ ) , 0 , … , 0 } diag \{d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots,d_r(\lambda),0,\dots,0\} diag{d1​(λ),d2​(λ),…,dr​(λ),0,…,0}

其中 $d_i(\lambda )$ 是非零首一多项式且 $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda ),i=1,2,\dots ,r-1$

注：

1. 对长方形 $\lambda$ 阵，结论和证明也类似
2. 称上述定理中的 $r$ 为 $A(\lambda )$ 的秩

推论
任意 $n$ 阶可逆 $\lambda$ 阵均可表示为有限个初等 $\lambda$ 阵之积

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著