1. Taylor级数的发展历史
古希腊哲学家Elea的Zeno[zí:nou]曾考虑过将无穷级数相加以得到有限结果的问题，但认为这是不可能的，于是将其驳回；结果就是Zeno悖论。后来，Aristotle[ǽristɒtl]提出了一个哲学解决方案，但数学内容显然一直未得到解决，直到Archimedes[à:kimí:di:z]开始研究，就像在Aristotle之前，前苏格拉底原子论者(the Presocratic Atomist)Democritus[dimɒ́kritəs]也曾研究过一样。正是通过Archimedes的穷举法，才能对一个无穷的数进行无数次渐进细分，从而得到有限的结果。几个世纪后，魏晋时期的刘徽独立采用了类似的方法。
在公元14 世纪，印度数学家Sangamagrama的Madhava[má:dəva:]给出了具体的Taylor[téilə]级数(但不是一般方法)的最早例子。虽然他的工作没有留存下来，但他的追随者在Kerala邦天文和数学学校的著作表明，他发现了正弦、余弦和反正切三角函数的Taylor级数(见Madhava级数)。在接下来的两个世纪里，他的追随者们进一步发展了级数展开和比率的近似(rational approximations)。
在1670 年末，James Gregory[dʒeimz-grégəri]在给John Collins[dʒɒn-kɒ́linz]的一封信中展示了几个由Isaac Newton[áizək-njú:tən]推导出来的Maclaurin[məklɒ́(:)rin]级数(sin(x),cos(x),arcsin(x)和xcot(x))，并告知Newton已经开发出一种将函数按级数展开的通用方法(注：即用级数来近似表示函数)。事实上，Newton使用了一种繁琐的方法，包括级数的长除法和逐项积分，但Gregory并不知道这一点，并着手为自己发现一种通用方法。1671 年初，Gregory发现了类似于一般Maclaurin级数的东西，并给Collins写了一封信，信中包括函数 arctan(x)，tan(x)，sec(x)，ln(sec(x))(tan的积分)， ( sec 的积分，Gudermann[gu:déimən]函数)的级数。然而，Gregory认为他只是重新开发了牛顿的一种方法，从未描述他如何获得这些级数，只能推断他是通过检查 1671 年另一封信背面潦草的笔记来了解一般方法。
1691-1692 年，Isaac Newton在其著作<<曲线四极论>>(De Quadratura Curvarum)的未出版版本中写下了Taylor级数和Maclaurin级数的明确表述。然而，这部著作从未完成，相关部分在 1704 年以《曲线四极论》为名出版的部分中被删除。
直到 1715 年，Brook Taylor[bruk-téilə]才最终发表了针对所有存在该类级数的函数的级数构造通用方法，现在该级数就是以他的名字命名的。
Maclaurin级数以Edinburgh教授Colin Maclaurin[kɒ́lin- məklɒ́(:)rin]的名字命名，他于 18 世纪中叶发表了Taylor结果的特例。
2. 为什么我们需要Taylor级数(Taylor级数的意义何在)?
2.1 求解微分方程的需要
下面通过举例来说明这个问题。例如，有一个简单的钟摆(pendulum),长度为 l ,重力加速度为 g。则我们需要求解的微分方程为
，
求解这个微分方程的难点在于，无法按解析求解出“通”解函数。但若我们使用正弦函数(sin)的一阶Taylor多项式，即 ，我们就可获得下列方程
，
求解这个方程就容易多了：
，
如果角度(和经过的时间)足够小，则这是有效的。
2.2 多项式容易处理
多项式是最容易处理的东西，它提供了一种以多项式来逼近复杂函数的方式。它们易于积分和微分。当我们有非多项式函数时，情况可能并非如此。你能积分 吗？答案是不能。但你可以用Taylor多项式按你喜欢的任何精度去逼近它，然后轻松对其进行积分。
如果你有一个复杂的表达式需要求解极限，你通常可以用Taylor级数替换掉顽固的部分，然后轻松求得极限。
2.3 简化计算
很多时候，我们知道函数在非常具体的值处的值，并且我们想近似该值。一个容易理解的简单的例子是考虑零附近的指数函数。我们知道零处的指数函数值是 1 。我们也知道零处的每一个导数都是1。但如果我们要计算(比如) 这样的值却极为困难。然而，使用一个3
阶Taylor多项式
，
我们可以计算出 近似等于 1.10517 ，精确到6位有效数字。更高阶的 Taylor 多项式可以给出更为精确的结果。
Taylor 级数为我们提供了逼近兴趣区域的方法。这究竟对计算机科学有什么好处？良好的估算能力对于编程来说已经是必不可少的。如果只需要一定程度的精度，那么取近似值通常比进行某种完整计算更快，而Taylor多项式则提供了一种进行此类近似的标准方法。Taylor多项式还给出了一个数量级估计，这对于渐近线非常有用。
2.4 识别函数的渐近行为
Taylor级数可能有助于识别函数的渐近行为。一旦我们将函数分解为其Taylor级数，我们有时会看到极限中的项消失，如果我们只对其极限行为感兴趣，则可以简化表达式。
这种分解的一个很好的例子是Stirling公式的证明，由于Taylor级数展开，我们确定了一个等比级数来完成证明。
2.5 解决其它的问题
计算极限，研究连续性，研究可微性，研究符号，求正切方程，求渐近线方程，研 究级数的性质，研究不定积分的性质，研究奇点的性质。
3. Taylor级数概述
在数学中，函数的Taylor级数或称Taylor展式是项的无限和，这些项用函数在某一点的导数来表示。对于大多数常见函数，函数和其Taylor级数之和在该点附近相等。Taylor级数以Brook Taylor的名字命名(注：英国数学家)，他于 1715 年提出了Taylor级数。当 0 是考虑导数的点时，Taylor级数也称为Maclaurin级数，Colin Maclaurin的名字命名(注：英国数学家)，他在 18 世纪广泛使用了Taylor级数的这种特殊情况。
Taylor级数的前 n + 1 项(注：下标从0开始)形成的部分和(partial sum)是 n 次多项式，称为该函数的第 n 次Taylor多项式。Taylor多项式是函数的近似表达式，通常随着 n 的增加而变得越发精确。Taylor定理对使用此类近似表达式所引入的误差进行了定量估计。如果函数的Taylor级数是收敛的，则它的和就是Taylor多项式无限序列的极限。即使Taylor级数是收敛的，函数也可能不同于其Taylor级数的和。如果一个函数等于其在包含 x 的某个开区间(或复平面上的开圆盘)中的Taylor级数的和，则该函数在点 x 处解析。这意味着该函数在该区间(或圆盘)的每个点都是解析的。
Taylor级数的定义：
实值或复值函数 f (x) 在实数或复数点 a 处无限可微，则其对应的Taylor级数是幂级数
表达式中，n! 表示的 n 的阶乘， 表示函数 f (x) 在实数或复数点 a 处所计算出来n阶导数。f 的零阶导数定义为 f 本身，而
和 0! 均定义为 1。该级数可以用 sigma 符号表示，如公式右边所示。当 a = 0 时，级数为Maclaurin级数：
。