【实验目的】
应用回溯法求解图的着色问题
【实验性质】
综合性实验
【实验要求】
设下图G=(V,E)是一连通无向图，有3种颜色，用这些颜色为G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，且相邻顶点颜色不同。试用回溯法设计一个算法，找出所有可能满足上述条件的着色法，如果这个图不能用3种颜色着色满足相邻顶点颜色互异的要求就给出否定的回答。
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【算法思想及处理过程】
算法的主要思想是尝试为每个顶点选择一个颜色，然后递归地为剩下的顶点选择颜色，直到所有顶点都着色完毕。在每一步选择颜色的时候，通过判断当前顶点与已经着色的顶点之间是否有边相连，并且颜色是否相同来判断该颜色是否安全。如果找到一个新的解，就将解的数量加1，并打印出该解。
具体的处理过程如下：
定义图的数据结构，并初始化图。
向图中添加边。
定义一个颜色数组，用于存储顶点的颜色，初始化为0，表示未着色。
定义一个解的数量变量，初始化为0。
调用回溯函数graph_coloring_util，递归地为每个顶点选择颜色。
在回溯函数中判断当前顶点是否可以安全地选择某个颜色，如果可以，则将该颜色赋给当前顶点，并继续递归地为剩下的顶点选择颜色。
如果所有顶点都已经着色完毕，找到一个新的解，将解的数量加1，并打印出该解。
移除当前顶点的颜色，以便尝试下一种颜色。
如果所有顶点都已经遍历完毕，结束回溯。
如果解的数量为0，则输出无解，否则输出解的数量。
在主函数中，输入顶点数和边数，并根据输入添加图的边。然后调用graph_coloring函数解决图的着色问题，并输出所有解的方案
【程序代码】
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#pragma warning(disable : 4996)
#define MAX_V 100 // 最大顶点数
#define MAX_E 1000 // 最大边数
// 定义图的数据结构
typedef struct {
int edges[MAX_V][MAX_V]; // 邻接矩阵表示的图
int n; // 图中顶点的数量
} Graph;
// 初始化图
void init_graph(Graph* g, int n) {
g->n = n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
g->edges[i][j] = 0;
}
}
}
// 向图中添加边
void add_edge(Graph* g, int u, int v) {
g->edges[u][v] = 1;
g->edges[v][u] = 1;
}
// 检查是否可以给顶点v着色color
bool is_safe(Graph* g, int v, int color[], int c) {
for (int i = 0; i < g->n; i++) {
if (g->edges[v][i] && c == color[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
// 回溯法求解图的着色问题，找到所有解
void graph_coloring_util(Graph* g, int m, int color[], int v, int* solution_count) {
// 所有顶点都已经着色完毕，找到一个新的解
if (v == g->n) {
(*solution_count)++;
printf(" 结果%d: ", *solution_count);
for (int i = 0; i < g->n; i++) {
printf("%d ", color[i]);
}
printf("\n");
return;
}
// 尝试为当前顶点着色
for (int c = 1; c <= m; c++) {
if (is_safe(g, v, color, c)) {
color[v] = c;
// 递归为剩下的顶点着色
graph_coloring_util(g, m, color, v + 1, solution_count);
// 移除颜色，以便尝试下一种颜色
color[v] = 0;
}
}
}
// 图的着色问题主函数
void graph_coloring(Graph* g, int m) {
int color[MAX_V]; // 颜色数组
int solution_count = 0; // 解的数量
for (int i = 0; i < g->n; i++) {
color[i] = 0; // 初始化颜色为0，表示未着色
}
// 调用回溯函数
graph_coloring_util(g, m, color, 0, &solution_count);
if (solution_count == 0) {
printf("No solution exists for this graph.\n");
}
else {
printf("Total solutions: %d\n", solution_count);
}
}
int main() {
Graph g;
int n, m, u, v;
// 输入顶点数和边数
printf("输入图中顶点数量: ");
scanf("%d", &n);
printf("输入图中边的数量: ");
scanf("%d", &m);
init_graph(&g, n);
// 输入每条边的两个顶点
printf("输入每条边的两个顶点:\n");
for (int i = 0; i < m; i++) {
printf(" %d (u v): ", i + 1);
scanf("%d %d", &u, &v);
add_edge(&g, u, v);
}
// 解决图的着色问题，并显示所有方案
graph_coloring(&g, 3);
return 0;
}
【运行结果】
自行运行截图
【算法分析】
时间复杂度分析： 回溯法解决图的着色问题的时间复杂度较高，最坏情况下达到指数级别。在每个顶点上都有m种颜色可选，因此需要进行m^n次操作，其中n为顶点的数量。在每一次操作中，需要检查边的数量，因此总体的时间复杂度为O(m^n * E)，其中E表示边的数量。对于一般的图而言，边的数量是顶点数量的平方级别，因此时间复杂度可以简化为O(m^n * n^2)。但是由于图可能存在着色方案的差异，实际运行时的时间复杂度可能会低于上述理论复杂度。
空间复杂度分析： 程序使用了一个颜色数组来存储顶点的着色方案，数组长度为顶点的数量。因此，空间复杂度为O(n)。另外，程序的递归调用将会使用系统栈空间，堆栈的深度为图的顶点数量。因此，空间复杂度为O(n)。整体的空间复杂度为O(n)。