让我们详细解释一下所谓的“冲激平衡法”（或“冲激响应法”）以及为什么在这个方法中假设冲激响应 ( h(t) ) 的形式为特定的指数函数组合是合理的。
冲激平衡法的基本思想
冲激平衡法的基本思想是通过假设冲激响应 ( h(t) ) 的特定形式，并将其代入系统的微分方程中，验证该假设是否满足微分方程的要求。对于线性时不变系统（LTI系统），我们通常假设冲激响应的形式为特征方程解的组合形式。这是因为系统的特征方程决定了系统的自然响应形式。
系统的特性
考虑一个二阶线性常系数微分方程描述的LTI系统：
y ′ ′ ( t ) + 7 y ′ ( t ) + 12 y ( t ) = x ( t ) y''(t) + 7y'(t) + 12y(t) = x(t) y′′(t)+7y′(t)+12y(t)=x(t)
其对应的齐次微分方程（没有外部输入）为：
y ′ ′ ( t ) + 7 y ′ ( t ) + 12 y ( t ) = 0 y''(t) + 7y'(t) + 12y(t) = 0 y′′(t)+7y′(t)+12y(t)=0
特征方程为：
λ 2 + 7 λ + 12 = 0 \lambda^2 + 7\lambda + 12 = 0 λ2+7λ+12=0
解特征方程得到特征根：
λ 1 = − 3 , λ 2 = − 4 \lambda_1 = -3, \lambda_2 = -4 λ1=−3,λ2=−4
因此，齐次微分方程的解可以表示为特征根对应的指数函数的线性组合：
y h ( t ) = C 1 e − 3 t + C 2 e − 4 t y_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-4t} yh(t)=C1e−3t+C2e−4t
假设冲激响应的形式
为了求解系统的冲激响应 ( h(t) )，我们假设其形式为特征根对应的指数函数的组合：
h ( t ) = A e − 3 t + B e − 4 t h(t) = A e^{-3t} + B e^{-4t} h(t)=Ae−3t+Be−4t
由于冲激响应应该在 ( t \geq 0 ) 时存在（即输入信号 (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 时刻起作用），我们将其乘以单位阶跃函数 ( u(t) )：
h ( t ) = ( A e − 3 t + B e − 4 t ) u ( t ) h(t) = (A e^{-3t} + B e^{-4t}) u(t) h(t)=(Ae−3t+Be−4t)u(t)
验证假设
将假设的形式代入原微分方程，验证是否满足该方程。
计算假设形式的导数：
h ′ ( t ) = − 3 A e − 3 t u ( t ) − 4 B e − 4 t u ( t ) h'(t) = -3A e^{-3t} u(t) - 4B e^{-4t} u(t) h′(t)=−3Ae−3tu(t)−4Be−4tu(t)
h ′ ′ ( t ) = 9 A e − 3 t u ( t ) + 16 B e − 4 t u ( t ) h''(t) = 9A e^{-3t} u(t) + 16B e^{-4t} u(t) h′′(t)=9Ae−3tu(t)+16Be−4tu(t)
将这些导数代入微分方程：
h ′ ′ ( t ) + 7 h ′ ( t ) + 12 h ( t ) = δ ( t ) h''(t) + 7h'(t) + 12h(t) = \delta(t) h′′(t)+7h′(t)+12h(t)=δ(t)
得到：
9 A e − 3 t u ( t ) + 16 B e − 4 t u ( t ) + 7 ( − 3 A e − 3 t u ( t ) − 4 B e − 4 t u ( t ) ) + 12 ( A e − 3 t u ( t ) + B e − 4 t u ( t ) ) = δ ( t ) 9A e^{-3t} u(t) + 16B e^{-4t} u(t) + 7(-3A e^{-3t} u(t) - 4B e^{-4t} u(t)) + 12(A e^{-3t} u(t) + B e^{-4t} u(t)) = \delta(t) 9Ae−3tu(t)+16Be−4tu(t)+7(−3Ae−3tu(t)−4Be−4tu(t))+12(Ae−3tu(t)+Be−4tu(t))=δ(t)
简化后，我们得到：
( 9 A − 21 A + 12 A ) e − 3 t u ( t ) + ( 16 B − 28 B + 12 B ) e − 4 t u ( t ) = δ ( t ) (9A - 21A + 12A)e^{-3t} u(t) + (16B - 28B + 12B)e^{-4t} u(t) = \delta(t) (9A−21A+12A)e−3tu(t)+(16B−28B+12B)e−4tu(t)=δ(t)
0 ⋅ e − 3 t u ( t ) + 0 ⋅ e − 4 t u ( t ) = δ ( t ) 0 \cdot e^{-3t} u(t) + 0 \cdot e^{-4t} u(t) = \delta(t) 0⋅e−3tu(t)+0⋅e−4tu(t)=δ(t)
为了满足方程右边的 (\delta(t))，我们需要：
9 A − 21 A + 12 A = 0 9A - 21A + 12A = 0 9A−21A+12A=0
16 B − 28 B + 12 B = 0 16B - 28B + 12B = 0 16B−28B+12B=0
从中我们可以解得：
A = 1 A = 1 A=1
B = − 1 B = -1 B=−1
因此，冲激响应为：
h ( t ) = ( e − 3 t − e − 4 t ) u ( t ) h(t) = (e^{-3t} - e^{-4t}) u(t) h(t)=(e−3t−e−4t)u(t)
总结
通过假设冲激响应的形式为特征根对应的指数函数组合，并验证其满足系统微分方程，我们找到了满足条件的冲激响应。这就是“冲激平衡法”的基本思想。这样的方法利用了系统的线性和时不变特性，使得假设冲激响应的形式合理且易于验证。