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背景
通信和感知在硬件结构上相似，高效地利用资源，实现相互的增益；
感知是基于不同的任务，比如目标检测（检测概率，虚警概率），估计任务（从收到的信号中去估计有用的参数，均方误差，CRB），识别（知道目标的语义信息，就是目标分类，识别准确率），这些感知指标基本都是可靠性指标，感知的结果难以量化成一个比特，所以我们不去讨论感知的有效性。
考虑估计指标，估计参数， E { ( η − η ^ ) ( η − η ^ ) T } ⩾ J − 1 = { E [ ∂ 2 ln p ( Y , η ) ∂ η ∂ η T ] } − 1 \mathbb{E}\Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\}\geqslant\mathbf{J}^{-1}=\Big\{\mathbb{E}\left[\frac{\partial^{2}\ln p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta})}{\partial\mathbf{\eta}\partial\mathbf{\eta}^{\mathrm{T}}}\right]\Big\}^{-1} E{ (η−η^)(η−η^)T}⩾J−1={ E[∂η∂ηT∂2lnp(Y,η)]}−1，估计的参数是 η \eta η（比如距离、速度和角度等），比如发射一个信号打到一个目标上，返回的信号就携带了关于这个目标信息。信号记作 Y \mathbf{Y} Y，服从一定概率的随机变量， η \eta η也是随机变量（列向量），拿到 Y \mathbf{Y} Y对 η \eta η作估计，记作 η ^ \hat{\eta} η^， 求MSE即 E { ( η − η ^ ) ( η − η ^ ) T } \mathbb{E}\Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\} E{ (η−η^)(η−η^)T}，统计里MSE有下界，下界就是CRB（CRB是感知的性能极限），CRB的PDF越尖，包含目标的信息就越多，它的逆就是误差的bound（CRB的PDF多尖定义为Fisher Information，Fisher Information是联合分布 p ( Y , η ) p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta}) p(Y,η)，为什么是联合分布，这是一个贝叶斯的CRB），联合分布 p ( Y , η ) p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta}) p(Y,η)对 η ) \mathbf{\eta}) η)求二阶导取期望， [ ∂ 2 ln p ( Y , η ) ∂ η ∂ η T ] \left[\frac{\partial^{2}\ln p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta})}{\partial\mathbf{\eta}\partial\mathbf{\eta}^{\mathrm{T}}}\right] [∂η∂ηT∂2lnp(Y,η)]叫Hessian矩阵（海森矩阵，Hessian矩阵求期望就是Fisher信息矩阵），海森矩阵求期望再取逆叫做CRB matrix，矩阵 { ( η − η ^ ) ( η − η ^ ) T } \Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\} { (η−η^)(η−η^)T}在半正定意义上大于等于Hessian矩阵的逆，对 { ( η − η ^ ) ( η − η ^ ) T } \Big\{(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})(\mathbf{\eta}-\mathbf{\hat{\eta}})^{\mathrm{T}}\Big\} { (η−η^)(η−η^)T}求迹tra，将所有误差加起来，CRB一般是 { E [ ∂ 2 ln p ( Y , η ) ∂ η ∂ η T ] } − 1 \Big\{\mathbb{E}\left[\frac{\partial^{2}\ln p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta})}{\partial\mathbf{\eta}\partial\mathbf{\eta}^{\mathrm{T}}}\right]\Big\}^{-1} { E[∂η∂ηT∂2lnp(Y,η)]}−1求trace。
一般的CRB中 η \eta η是确定变量， p ( Y , η ) p(\mathbf{Y},\mathbf{\eta}) p(Y,η)会变成似然函数(可以这样理解，观测数据和参数的联合分布，当其中一个给定，为了使得PDF最大，去优化另外一个，都是优化似然函数)。
半正定 (positive semidefinite)矩阵表示一个对称矩阵，其所有特征值都非负。
这意味着，对于任意非意 x \mathfrak{x} x,都有：
x T ( E { ( η − η ^ ) ( η − η ^ ) T } − J − 1 ( η ) ) x ≥ 0 \mathbf{x}^T\left(\mathbb{E}\Big\{(\eta-\hat{\eta})(\eta-\hat{\eta})^\mathrm{T}\Big\}-\mathbf{J}^{-1}(\eta)\Big)\mathbf{x}\geq0\right. xT(E{ (η−η^)(η−η^)T}−J−1(η))x≥0
下面讨论性能极限（通信人的传统），研究一个新的通信系统第一步先搞清楚性能极限，两个极限：速率和CRB，此时性能极限就不是一个点了，而是一个边界，相当于2元的优化问题。速率和CRB如果同时达到最优（CRB最小，Rate达到最大，为Bound B矩形边界，意味着通信和感知之间没有任何矛盾），Bound A是Time sharing可以达到的界，最优的CRB在左下工作点概率是P1，最高的rate在右上工作点概率是P2，P1+P2=1，概率变化就可以得到Bound A直线，这条线叫做分时内界（time sharing inner bound），代表资源上通信和感知正交分配的情况（通信和感知没有共享资源）。一个比较实际的折中就是Bound C，通信和感知有一部分资源是共享的。
如何分配通信和感知的资源：通信和感知有不同的评价指标，对资源的分配和调度就有不同的侧重点。比如正交分配（在时间、频谱或者波束上分配通信和感知，时分、频分和空分）。另外是一体化波形，会得到Bound C，如何找到Bound C并且逼近。
找到这条界：ISAC信道分为3种，1）强耦合：通信的目标也是感知的目标；2）中度耦合：感知和通信分成两条径都被手机接受；3）弱耦合：通信和感知的两个目标在物理上隔得很远。三种耦合程度部分决定了边界的形状。
强耦合，抽象成两个subspace，两个subspace方向相同，朝一个方向打，通信和感知完全复用。中度耦合，复用就是各自的投影。弱耦合，两个空间正交，不得不正交分配资源，资源没办法复用。
如果考虑一个简单的beamforming问题，对于某个目标角度的CRB的优化，通信速率满足一个门限和一个功率的约束。
向量高斯信道，MIMO或者OFDM信道。
感知接收机和发射机是否分开：
自发自收，一个通信用户，一个或者多个Target，ISAC的发射机，感知接收机。
发和收分开，但是中间可以用光纤连接，接受合作。
Y c = H c X + Z c , Y s = H s ( η ) X + Z s \mathbf{Y}_\mathrm{c}=\mathbf{H}_\mathrm{c}\mathbf{X}+\mathbf{Z}_\mathrm{c},\mathbf{Y}_\mathrm{s}=\mathbf{H}_\mathrm{s}(\mathbf{\eta})\mathbf{X}+\mathbf{Z}_\mathrm{s} Yc=HcX+Zc,Ys=Hs(η)X+Zs其中 Y c \mathbf{Y}_\mathrm{c} Yc是通信接收信号， Y s \mathbf{Y}_\mathrm{s} Ys是感知接收信号； X \mathbf{X} X是一个unified waveform，随机变量（只有随机信号才能携带信息）；样本协方差矩阵，假设有N个天线，一个block的长度是T， X \mathbf{X} X就是一个N×T的矩阵（或者对应OFDM中N个OFDM符号，每个符号有T个子载波）， X \mathbf{X} X的共轭转置/T就是样本协方差矩阵；求期望就是统计协方差矩阵。
一些重要的假设：
雷达的感知，感知的目标不能发射信号；
ISAC信号 X \mathbf{X} X对于感知接收机是已知的，因为在自发自收和发和收分开两种场景下，都是连接的。但是对通信接收机是未知的。
η \mathbf{\eta} η是IId，每T个symbol，iid地变化一次。
通信的channel， H c \mathbf{H}_\mathrm{c}