拓扑学习系列（2）同调群、同伦群与基本群

• 同调群

同调群是拓扑空间的一个重要不变量，用于研究空间的“洞”的结构。同调群描述了拓扑空间中的闭合曲线、曲面等的性质，是拓扑学中的一个重要工具。以下是对同调群的详细描述：

1. 定义：
   给定一个拓扑空间 X，对于每个非负整数 n，同调群 H_n(X)Hn​(X) 是一个群，它描述了 X 中维度为 n 的“洞”的结构。同调群可以通过拓扑空间 X 的同调链和同调边界来定义。

2. 同调链 (Homology Chain)：
   同调链是一个 n-维单形的线性组合，即形式为 a_1\sigma_1 + a_2\sigma_2 + \ldots + a_k\sigma_ka1​σ1​+a2​σ2​+…+ak​σk​ 的对象，其中 a_iai​ 是整数系数，\sigma_iσi​ 是 n-维单形。同调链的边界是一个 (n-1)-维单形的线性组合，即形式为 b_1\tau_1 + b_2\tau_2 + \ldots + b_m\tau_mb1​τ1​+b2​τ2​+…+bm​τm​ 的对象，其中 b_ibi​ 是整数系数，\tau_iτi​ 是 (n-1)-维单形。

3. 同调边界 (Homology Boundary)：
   同调边界是一个 n-维单形的边界，它是一个线性组合，即形式为 \partial\sigma = \sum_{i=1}^n m_i\tau_i∂σ=∑i=1n​mi​τi​ 的对象，其中 m_imi​ 是整数系数，\tau_iτi​ 是 (n-1)-维单形。

4. 同调群的定义：

   • 对于 n ≥ 0，同调群 H_n(X)Hn​(X) 是同调链模去同调边界的商群，即 H_n(X) = \text{ker}(\partial_n) / \text{im}(\partial_{n+1})Hn​(X)=ker(∂n​)/im(∂n+1​)，其中 \partial_n∂n​ 是 n-维单形的边界算子。

5. 性质：

   • 同调群是拓扑空间的拓扑不变量，即同胚的拓扑空间具有同构的同调群。
   • 同调群可以描述空间的连通性、空洞的数量和维度等拓扑性质。
   • 同调群与同伦群、基本群等拓扑不变量有密切关系，一起构成了拓扑空间的完整描述。

通过同调群的研究，我们可以理解拓扑空间的结构、空洞的性质以及空间的拓扑演变。同调群在代数拓扑学、拓扑几何学等领域有着广泛的应用，为研究空间的拓扑性质提供了重要工具和方法。

• 同伦群

同伦群是拓扑空间的一个代数不变量，用于研究空间中的连续映射的等价关系。同伦群描述了空间中点之间的“连续变形”关系，是拓扑学中的一个重要概念。以下是对同伦群的详细描述：

1. 定义：
   给定拓扑空间 X 和一个基点 x0 ∈ X，对于任意两个连续映射 f, g: [0, 1] \to Xf,g:[0,1]→X，满足 f(0) = g(0) = x0f(0)=g(0)=x0 和 f(1) = g(1) = x0f(1)=g(1)=x0，如果存在一个连续映射 F: [0, 1] \times [0, 1] \to XF:[0,1]×[0,1]→X，使得 F(s, 0) = f(s)F(s,0)=f(s) 和 F(s, 1) = g(s)F(s,1)=g(s) 对所有 s \in [0, 1]s∈[0,1] 成立，那么称 f 和 g 是同伦的，记作 f \simeq gf≃g。

2. 同伦群的定义：
   对于拓扑空间 X 和基点 x0，同伦群 \pi_1(X, x0)π1​(X,x0) 是从基点 x0 出发的所有回路类的同伦等价类的集合所构成的群。同伦群描述了空间中基于基点的回路的同伦类之间的等价关系。

3. 性质：

   • 同伦群是拓扑空间的一个拓扑不变量，即同胚的拓扑空间具有同构的同伦群。
   • 同伦群反映了空间中的拓扑结构，可以用于研究空间的连通性、孔洞的数量和分布等拓扑性质。
   • 同伦群与同调群、基本群等拓扑不变量之间有着密切的联系，共同构成了拓扑空间的完整描述。

4. 应用：

   • 同伦群在代数拓扑学、几何拓扑学、拓扑动力系统等领域有着广泛的应用，用于研究空间的拓扑性质、同伦变换和同伦等价类。
   • 同伦群的计算和性质研究可以帮助理解空间的形状、连通性和变形关系，为拓扑学的研究提供重要工具和方法。

通过同伦群的研究，我们可以深入理解拓扑空间中连续映射的等价关系，揭示空间中点之间的“连续变形”关系，为研究空间的拓扑结构和变形性质提供了重要工具和理论基础。

• 基本群

基本群是拓扑空间的一个重要代数不变量，用于研究空间中的环的结构。基本群描述了空间中的回路的等价关系，是拓扑学中的一个重要概念。以下是对基本群的详细描述：

1. 定义：
   给定拓扑空间 X 和一个基点 x0 ∈ X，对于任意一条回路（闭合路径）\gamma: [0, 1] \to Xγ:[0,1]→X，满足 \gamma(0) = \gamma(1) = x0γ(0)=γ(1)=x0，如果存在一个连续映射 F: [0, 1] \times [0, 1] \to XF:[0,1]×[0,1]→X，使得 F(s, 0) = \gamma(s)F(s,0)=γ(s) 和 F(s, 1) = x0F(s,1)=x0 对所有 s \in [0, 1]s∈[0,1] 成立，那么称 \gammaγ 是基于基点 x0 的回路。基本群 \pi_1(X, x0)π1​(X,x0) 是所有基于基点 x0 的回路的自由同伦类的集合所构成的群。

2. 同伦等价：
   两条基于基点 x0 的回路 \gamma_1γ1​ 和 \gamma_2γ2​ 被称为同伦等价，记作 \gamma_1 \simeq \gamma_2γ1​≃γ2​，如果它们可以通过一个连续变形相互转换而保持端点不变。

3. 基本群的定义：
   基本群 \pi_1(X, x0)π1​(X,x0) 是从基点 x0 出发的所有基于基点 x0 的回路的同伦等价类的集合所构成的群。基本群描述了空间中基于基点的回路之间的等价关系。

4. 性质：

   • 基本群是拓扑空间的一个拓扑不变量，即同胚的拓扑空间具有同构的基本群。
   • 基本群可以用来研究空间的拓扑性质，如连通性、孔洞的数量和形状等。
   • 基本群与同调群、同伦群等拓扑不变量之间有着密切的联系，共同构成了拓扑空间的完整描述。

5. 应用：

   • 基本群在代数拓扑学、几何拓扑学、拓扑动力系统等领域有着广泛的应用，用于研究空间的拓扑性质、回路的同伦等价类和空间的连通性。
   • 基本群的计算和性质研究可以帮助理解空间的形状、孔洞的结构和回路的等价关系，为拓扑学的研究提供重要工具和方法。

通过基本群的研究，我们可以深入理解拓扑空间中基于基点的回路之间的等价关系，揭示空间中环的结构和拓扑性质，为研究空间的拓扑结构和连通性提供了重要工具和理论基础。