3. 线性空间
令 K n : = { ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∣ a i ∈ K , i = 1 , 2 , . . . , n } \textbf{K}^{n}:=\{(a_{1},a_{2},...,a_{n})|a_{i}\in\textbf{K},i=1,2,...,n\} Kn:={(a1,a2,...,an)∣ai∈K,i=1,2,...,n}，称为 n n n维向量
规定（规定的符号是 : = := :=）
- 向量相等： ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) ⇔ a i = b i , i = 1 , 2 , . . . , n (a_{1},a_{2},...,a_{n})=(b_{1},b_{2},...,b_{n})\Leftrightarrow a_{i}=b_{i},i=1,2,...,n (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)⇔ai=bi,i=1,2,...,n
- 向量加法： ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) + ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) : = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ) (a_{1},a_{2},...,a_{n})+(b_{1},b_{2},...,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},...,a_{n}+b_{n}) (a1,a2,...,an)+(b1,b2,...,bn):=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)
- 数量乘法： k ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) : = ( k a 1 , k a 2 , . . . , k a n ) k(a_{1},a_{2},...,a_{n}):=(ka_{1},ka_{2},...,ka_{n}) k(a1,a2,...,an):=(ka1,ka2,...,kan)
- 零向量： 0 = ( 0 , 0 , . . . , 0 ) \boldsymbol{0}=(0,0,...,0) 0=(0,0,...,0)称为零向量
平面上以原点 O O O为起点的所有向量组成的集合，直线上以定点 O O O为起点的所有向量组成的集合……将这些做一个抽象的概括，称为线性空间。
3.1 线性空间的定义
若对应法则 f : A ⟶ B f:A\longrightarrow B f:A⟶B满足每一个 a a a都对应唯一的一个 b b b，即 a ⟼ b a\longmapsto b a⟼b，则称 f f f是集合 A \textbf{A} A到 B \textbf{B} B的一个映射， b b b称为 a a a在映射 f f f下的像，记作 f ( a ) f(a) f(a)； a a a称为 b b b在 f ( a ) f(a) f(a)下的一个原像。 A \textbf{A} A称为定义域（domain）， B \textbf{B} B称为陪域（codomain）， f f f的值域（或像） Im f = f ( A ) : = { f ( a ) ∣ a ∈ A } \text{Im}f=f(A):=\{f(a)|a\in\textbf{A}\} Imf=f(A):={f(a)∣a∈A}，若 f ( A ) = B f(A)=B f(A)=B（教室里坐满了同学），则 f f f称为满射，若 A \textbf{A} A中不同元素在 f f f下的像不同，则称 f f f是单射。若 f f f既是单射又是满射，则 f f f称为一个双射（一一对应）。
【GPT】当我们在讨论函数（或映射）的类型时，通常会遇到三个重要的概念：单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）。下面我将用简单的语言来解释这些概念：
- 单射（Injective）：
想象一下你在组织一个舞会，每个人都需要戴一顶独特的帽子。如果每个人的帽子都不一样，这样你就能通过帽子来区分每个人。在数学上，如果一个函数是单射的，那么每当函数给出相同的输出时，这些输入也是相同的。换句话说，不同的输入将产生不同的输出，就像每个人有不同的帽子一样。形式上如果 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)意味着 a = b a=b a=b，那么这个函数是单射的- 满射（Surjective）：还是那个舞会的例子，这次的目标是确保每顶帽子都有人戴。如果你做到了这一点，那么这就是一个满射。在数学上，一个函数被称为满射，如果它的输出完全覆盖了目标集合中的每个元素。也就是说，每个可能的输出至少有一个输入与之对应。形式上，如果对于目标集合中的每个元素 y y y，都存在至少一个输入 x x x，使得 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y，那么这个函数就是满射。
- 双射（Bijective）：如果你的舞会同时满足上述两个条件：每个人的帽子都是独一无二的，而且每顶帽子都有人戴，那么这就是一个完美的匹配。在数学上，一个同时是单射和满射的函数被称为双射。双射函数意味着输入和输出之间有一一对应的关系，就像完美配对的舞伴一样。形式上，如果一个函数既是单射又是满射，那么它就是双射。
3.2 笛卡尔积
有两个集合 S × M : = { ( a , b ) ∣ a ∈ S , b ∈ M } \textbf{S}\times\textbf{M}:=\{(a,b)|a\in\textbf{S},b\in\textbf{M}\} S×M:={(a,b)∣a∈S,b∈M}，称为 S \textbf{S} S与 M \textbf{M} M的笛卡尔积。
【定义1】非空集合 S \textbf{S} S上的一个代数运算指 S × S \textbf{S}\times\textbf{S} S×S到 S \textbf{S} S的一个映射。
【例】在整数集合中 Z \mathbb{Z} Z
2 + 3 = 5 ( 2 , 3 ) ⟼ 5 \begin{matrix} 2+3=5 \\ (2,3)\longmapsto 5 \end{matrix} 2+3=5(2,3)⟼5
2 × 3 = 5 ( 2 , 3 ) ⟼ 6 \begin{matrix} 2\times3=5 \\ (2,3)\longmapsto 6 \end{matrix} 2×3=5(2,3)⟼6
除法不是整数集的运算
【定义2】设 V \textbf{V} V是一个非空集合， K \textbf{K} K是一个数域，如果 V \textbf{V} V上有一个运算称为加法，即 ( α , β ) ⟼ α + β (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\longmapsto \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} (α,β)⟼α+β，数域 K \textbf{K} K与 V \textbf{V} V之间有一个运算，称为数量乘法，即 K × V ⟶ V : ( k , α ) ⟼ k α \textbf{K}\times\textbf{V}\longrightarrow\textbf{V}:(k,\boldsymbol{\alpha})\longmapsto k\boldsymbol{\alpha} K×V⟶V:(k,α)⟼kα，并且满足下述8条运算法则：
- 加法的交换律： α + β = β + α , ∀ α , β ∈ V \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha},\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in\textbf{V} α+β=β+α,∀α,β∈V；
- 加法的结合律： ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) , ∀ α , β , γ ∈ V (\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}),\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}\in\textbf{V} (α+β)+γ=α+(β+γ),∀α,β,γ∈V；
- V \textbf{V} V中有一个元素，记成 0 \boldsymbol{0} 0，它有下述性质： 0 + α = α + 0 = α , ∀ α ∈ V \mathbf{0}+\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\boldsymbol{\alpha},\forall \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} 0+α=α+0=α,∀α∈V，把 0 \boldsymbol{0} 0称为 V \textbf{V} V的零元；
- 对于 α ∈ V \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} α∈V，有 β ∈ V \boldsymbol{\beta}\in\textbf{V} β∈V，使得 α + β = 0 \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0} α+β=0，把 β \boldsymbol{\beta} β称为 α \boldsymbol{\alpha} α的负元；
- 1 α = α , ∀ α ∈ V 1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha},\forall\boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} 1α=α,∀α∈V
- ( k l ) α = k ( l α ) , ∀ k , l ∈ K , α ∈ V (kl)\boldsymbol{\alpha}=k(l\boldsymbol{\alpha}),\forall k,l\in\textbf{K},\boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} (kl)α=k(lα),∀k,l∈K,α∈V
- ( k + l ) α = k α + l α , ∀ k , l ∈ K , α ∈ V (k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha},\forall k,l\in\textbf{K},\boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} (k+l)α=kα+lα,∀k,l∈K,α∈V
- k ( α + β ) = k α + k β , ∀ k ∈ K , α ∈ V k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta},\forall k\in\textbf{K},\boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} k(α+β)=kα+kβ,∀k∈K,α∈V
这样的集合 V \textbf{V} V就称为数域 K \textbf{K} K上的一个线性空间。把 V \textbf{V} V中的元素称为一个向量。线性空间也可以称为向量空间。
3.3 线性空间的性质
回顾上节课：
【例1】几何空间是由点组成的集合，{以顶点O为起点的所有向量组成}的集合。
【例2】 K n : = { ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∣ a i ∈ K } \textbf{K}^{n}:=\{(a_{1},a_{2},...,a_{n})|a_{i}\in\textbf{K}\} Kn:={(a1,a2,...,an)∣ai∈K}是数域 K \textbf{K} K上的一个线性空间， ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) (a_{1},a_{2},...,a_{n}) (a1,a2,...,an)为 n n n维度向量， a i , i = 1 , 2 , . . . , n a_{i},i=1,2,...,n ai,i=1,2,...,n为分量。
由此建立了线性空间的模型，给出了线性空间的定义。
【例3】非空集合 X \textbf{X} X到实数域 R \mathbb{R} R的映射称为定义域为 X X X上的一个实值函数。把所有这种映射组成一个集合， { 非空集合 X 到实数域 R 的映射 } \{非空集合\textbf{X}到实数域\mathbb{R}的映射\} {非空集合X到实数域R的映射}，规定 ( f + g ) ( x ) : = f ( x ) + g ( x ) , ∀ x ∈ X (f+g)(x):=f(x)+g(x),\forall x\in\textbf{X} (f+g)(x):=f(x)+g(x),∀x∈X， ( k f ) ( x ) : = k f ( x ) , k ∈ R , ∀ x ∈ X (kf)(x):=kf(x),k\in\mathbb{R},\forall x\in\textbf{X} (kf)(x):=kf(x),k∈R,∀x∈X，零函数 0 ( x ) : = 0 , ∀ x ∈ X 0(x):=0,\forall x\in\textbf{X} 0(x):=0,∀x∈X
容易验证这个集合是实数域 R \mathbb{R} R上的一个线性空间，记作 R X : = { 非空集合 X 到实数域 R 的映射 } \mathbb{R}^{\textbf{X}}:=\{非空集合\textbf{X}到实数域\mathbb{R}的映射\} RX:={非空集合X到实数域R的映射}
假设 V \textbf{V} V是数域 K \textbf{K} K上的线性空间
（1） V \textbf{V} V的零元是唯一的；
【证】反证法，设 0 1 , 0 2 0_{1},0_{2} 01,02都是 V \textbf{V} V的零元，则 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 0_{1}=0_{1}+0_{2}=0_{2}+0_{1}=0_{2} 01=01+02=02+01=02，矛盾
所以 V \textbf{V} V的零元是唯一的。
（2）每个 α ∈ V \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} α∈V的负元唯一，记作 − α -\boldsymbol{\alpha} −α；
【证】反证法，设 β 1 , β 2 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2} β1,β2都是 α ∈ V \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} α∈V的负元，则
β 1 + ( α + β 2 ) = β 1 + 0 = β 1 \boldsymbol{\beta}_{1}+(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}_{2})=\boldsymbol{\beta}_{1}+0=\boldsymbol{\beta}_{1} β1+(α+β2)=β1+0=β1
β 1 + ( α + β 2 ) = ( β 1 + α ) + β 2 = ( α + β 1 ) + β 2 = β 2 \boldsymbol{\beta}_{1}+(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}_{2})=(\boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\alpha})+\boldsymbol{\beta}_{2}=(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}_{1})+\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\beta}_{2} β1+(α+β2)=(β1+α)+β2=(α+β1)+β2=β2
所以 β 1 = β 2 \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\beta}_{2} β1=β2
矛盾
所以每个 α ∈ V \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} α∈V的负元唯一；
（3） 0 α = 0 , ∀ α ∈ V 0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0},\forall \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} 0α=0,∀α∈V
【证】 0 α = ( 0 + 0 ) α = 0 α + 0 α 0\boldsymbol{\alpha}=(0+0)\boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}+0\boldsymbol{\alpha} 0α=(0+0)α=0α+0α两边加上 − 0 α -0\boldsymbol{\alpha} −0α
则 0 = − 0 α + 0 α = 0 α + 0 α + ( − 0 α ) = 0 α + ( 0 α − 0 α ) = 0 α \boldsymbol{0}=-0\boldsymbol{\alpha}+0\boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}+0\boldsymbol{\alpha}+(-0\boldsymbol{\alpha})=0\boldsymbol{\alpha}+(0\boldsymbol{\alpha}-0\boldsymbol{\alpha})=0\boldsymbol{\alpha} 0=−0α+0α=0α+0α+(−0α)=0α+(0α−0α)=0α
所以 0 α = 0 , ∀ α ∈ V 0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0},\forall \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} 0α=0,∀α∈V
（4） k 0 = 0 , ∀ k ∈ K k\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0},\forall k\in\textbf{K} k0=0,∀k∈K
【证】 k 0 = k ( 0 + 0 ) = k 0 + k 0 k\boldsymbol{0}=k(\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0})=k\boldsymbol{0}+k\boldsymbol{0} k0=k(0+0)=k0+k0
两边同时加 − k 0 -k\boldsymbol{0} −k0
则 0 = − k 0 + k 0 = k 0 + k 0 + ( − 0 ) = k 0 + ( k − k ) 0 = k 0 \boldsymbol{0}=-k\boldsymbol{0}+k\boldsymbol{0}=k\boldsymbol{0}+k\boldsymbol{0}+(-\boldsymbol{0})=k\boldsymbol{0}+(k-k)\boldsymbol{0}=k\boldsymbol{0} 0=−k0+k0=k0+k0+(−0)=k0+(k−k)0=k0
所以 k 0 = 0 , ∀ k ∈ K k\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0},\forall k\in\textbf{K} k0=0,∀k∈K
（5）若 k α = 0 k\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} kα=0，则 k = 0 k=0 k=0或 α = 0 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} α=0
【证】假设 k ≠ 0 k\ne0 k=0，则 α = 1 α = ( k − 1 k ) α = k − 1 ( k α ) \boldsymbol{\alpha}=1\boldsymbol{\alpha}=(k^{-1}k)\boldsymbol{\alpha}=k^{-1}(k\boldsymbol{\alpha}) α=1α=(k−1k)α=k−1(kα)
由于 k α = 0 k\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} kα=0
则 k − 1 ( k α ) = k − 1 0 = 0 k^{-1}(k\boldsymbol{\alpha})=k^{-1}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0} k−1(kα)=k−10=0
所以 k = 0 k=0 k=0或 α = 0 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} α=0
(6) ( − 1 ) α = − α , ∀ α ∈ V (-1)\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha},\forall \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} (−1)α=−α,∀α∈V
【证】按负元的定义：
α + ( − 1 ) α = 1 α + ( − 1 ) α = ( 1 + ( − 1 ) ) α = 0 α = 0 \boldsymbol{\alpha}+(-1)\boldsymbol{\alpha}=1\boldsymbol{\alpha}+(-1)\boldsymbol{\alpha}=(1+(-1))\boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} α+(−1)α=1α+(−1)α=(1+(−1))α=0α=0
因此 ( − 1 ) α (-1)\boldsymbol{\alpha} (−1)α是 α \boldsymbol{\alpha} α的负元
所以 ( − 1 ) α = − α , ∀ α ∈ V (-1)\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha},\forall \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{V} (−1)α=−α,∀α∈V
【例】平面 π \pi π上的以点 O O O为起点的向量构成一个线性空间，即平面 π \pi π是一个线性空间，其子集是线性子空间。
3.4 线性子空间
【定义1】设 V \textbf{V} V是数域 K \textbf{K} K上的一个线性空间， U \textbf{U} U是 α \boldsymbol{\alpha} α的一个非空子集，如果 U \textbf{U} U对于 V \textbf{V} V的加法和数量乘法也成为数域 K \textbf{K} K上的一个线性空间，称 U \textbf{U} U是 V \textbf{V} V的线性子空间，简称为子空间。
【定理1】 V \textbf{V} V的非空子集 U \textbf{U} U是子空间 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
（1） α , β ∈ U \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in\textbf{U} α,β∈U，则 α + β ∈ U \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in\textbf{U} α+β∈U（ U \textbf{U} U对于 V \textbf{V} V的加法封闭）
（2）若 α ∈ U \boldsymbol{\alpha}\in\textbf{U} α∈U，则 k α ∈ U k\boldsymbol{\alpha}\in\textbf{U} kα∈U（ U \textbf{U} U对于 V \textbf{V} V的数乘封闭）
【证】 ⇒ \Rightarrow ⇒由定义1得到
⇐ \Leftarrow ⇐， V \textbf{V} V的加法和数乘限制到 U \textbf{U} U上就是 U \textbf{U} U的加法和数乘。
显然，八条运算法则中，加法交换律，结合律……都成立，对于第三条有没有零元 负元，需要证明
由于 U \textbf{U} U是非空的，因此 β ∈ U \boldsymbol\beta\in\textbf{U} β∈U，从而 0 = 0 β ∈ U \boldsymbol{0}=0\boldsymbol\beta\in\textbf{U} 0=0β∈U（已知条件，数乘封闭），每一个 α \boldsymbol{\alpha} α，因此 − = ( − 1 ) α ∈ U -\boldsymbol=(-1)\boldsymbol\alpha\in\textbf{U} −=(−1)α∈U，从而 U \textbf{U} U称为数域 K \textbf{K} K上的一个线性空间，于是 U \textbf{U} U是 V \textbf{V} V的子空间。
- { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0}，可记成 0 \textbf{0} 0，是 V \textbf{V} V的零子空间。
- 按一定顺序写出有限多个向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s} α1,α2,...,αs称为向量组
- 将 k α 1 + k α 2 + . . . + k α s ( k 1 , k 2 , . . . , k s ∈ K ) k\boldsymbol\alpha_{1}+k\boldsymbol\alpha_{2}+...+k\boldsymbol\alpha_{s}(k_{1},k_{2},...,k_{s}\in\textbf{K}) kα1+kα2+...+kαs(k1,k2,...,ks∈K)称为向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s} α1,α2,...,αs的一个线性组合。所有的线性组合组成的集合 W = { k α 1 + k α 2 + . . . + k α s ∣ k 1 , k 2 , . . . , k s ∈ K } , 0 ∈ W \textbf{W}=\{k\boldsymbol\alpha_{1}+k\boldsymbol\alpha_{2}+...+k\boldsymbol\alpha_{s}|k_{1},k_{2},...,k_{s}\in\textbf{K}\},\textbf{0}\in\textbf{W} W={kα1+kα2+...+kαs∣k1,k2,...,ks∈K},0∈W，容易验证， W \textbf{W} W对于 V \textbf{V} V的加法和数量乘法封闭，因此 W \textbf{W} W是 V \textbf{V} V的一个子空间，称它为由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s} α1,α2,...,αs生成的子空间，记作 < α 1 , α 2 , . . . , α s > <\boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s}> <α1,α2,...,αs>或 L ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) L(\boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s}) L(α1,α2,...,αs)
- β ∈ < α 1 , α 2 , . . . , α s > ⇔ \boldsymbol\beta\in<\boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s}>\Leftrightarrow β∈<α1,α2,...,αs>⇔存在 K \textbf{K} K中一组数 l 1 , l 2 , . . . , l s l_{1},l_{2},...,l_{s} l1,l2,...,ls使得 β = l 1 α 1 + l 2 α 2 + . . . + l s α s \boldsymbol\beta=l_{1}\boldsymbol\alpha_{1}+l_{2}\boldsymbol\alpha_{2}+...+l_{s}\boldsymbol\alpha_{s} β=l1α1+l2α2+...+lsαs，此时称 β \boldsymbol\beta β可以由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{s} α1,α2,...,αs线性表出。
3.5 数域K上的 n n n元线性方程组
{ a 11 x 1 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a s 1 x 1 + . . . + a s n x n = b s \left\{\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ ...\\ a_{s1}x_{1}+...+a_{sn}x_{n}=b_{s} \end{array}\right. ⎩
⎨
⎧a11x1+...+a1nxn=b1a21x1+...+a2nxn=b2...as1x1+...+asnxn=bs
记 α 1 = ( a 11 a 12 ⋮ a s 1 ) , . . . , α n = ( a 1 n a 2 n ⋮ a n s ) , β = ( b 1 b 2 ⋮ b s ) \boldsymbol\alpha_{1}=\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{12}\\ \vdots \\ a_{s1} \end{pmatrix},...,\boldsymbol\alpha_{n}=\begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{ns} \end{pmatrix},\boldsymbol\beta=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{s} \end{pmatrix} α1=
a11a12⋮as1
,...,αn=
a1na2n⋮ans
,β=
b1b2⋮bs
（列向量）
于是上述方程组可以看成 x 1 α 1 + . . . + x n α n = β x_{1}\boldsymbol\alpha_{1}+...+x_{n}\boldsymbol\alpha_{n}=\boldsymbol\beta x1α1+...+xnαn=β.
方程组 x 1 α 1 + . . . + x n α n = β x_{1}\boldsymbol\alpha_{1}+...+x_{n}\boldsymbol\alpha_{n}=\boldsymbol\beta x1α1+...+xnαn=β有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔有 K \textbf{K} K中一组数 c 1 , c 2 , . . . , c s c_{1},c_{2},...,c_{s} c1,c2,...,cs，使得 c 1 α 1 + . . . + c n α n = β ⇔ β c_{1}\boldsymbol\alpha_{1}+...+c_{n}\boldsymbol\alpha_{n}=\boldsymbol\beta\Leftrightarrow\boldsymbol\beta c1α1+...+cnαn=β⇔β可以由列向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol\alpha_{1},\boldsymbol\alpha_{2},...,\boldsymbol\alpha_{n} α1,α2,...,αn线性表出