考试要求
1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数 f ( x ) f(x) f(x)具有二阶导数当 f ′ ′ ( x ) > 0 f^{''}(x)>0 f′′(x)>0时， f ( x ) f(x) f(x)的图形是凹的;当 f ′ ′ ( x ) > 0 f^{''}(x)>0 f′′(x)>0时, f ( X ) f(X) f(X)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.
零点问题
由连续函数介值定理或连续函数零点定理证明
定理(零点定理)设 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)\cdot f(b)<0 f(a)⋅f(b)<0，则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) ，使 f ( ξ ) = 0 \xi \in (a,b)，使f(\xi)=0 ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0。
定理（介值定理）设 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)\ne f(b) f(a)=f(b)，则对于任意介于 f ( a ) 与 f ( b ) f(a)与f(b) f(a)与f(b)之间的数 C C C，至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) ，使 f ( ξ ) = C \xi \in (a,b)，使f(\xi)=C ξ∈(a,b)，使f(ξ)=C。
练习1：设 f ( x ) f(x) f(x)在[0,1]上连续，且 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 0\le f(x) \le 1 0≤f(x)≤1，证明：存在 x 0 ∈ [ 0 , 1 ] ，使 f ( x 0 ) = x 0 x_0 \in [0,1]，使f(x_0)=x_0 x0∈[0,1]，使f(x0)=x0
知识点：零点定理
证： 令 F ( x ) = f ( x ) − x ，可知 F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，且 F ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 ≥ 0 , F ( 1 ) = f ( 1 ) − 1 ≤ 0 若 f ( 0 ) = 0 或 f ( 1 ) = 1 时， F ( x ) = 0 , 即 x 0 = 0 , 1 时，使 f ( x 0 ) = x 0 若 f ( 0 ) > 0 ， f ( 1 ) < 0 时，使用零点定理可知： ∃ x 0 ∈ ( 0 , 1 ) ，使 F ( x 0 ) = 0 , 即 f ( x 0 ) = x 0 综上可证：存在 x 0 ∈ [ 0 , 1 ] ，使 f ( x 0 ) = x 0 令F(x)=f(x)-x，可知F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=f(0)-0\ge 0,F(1)=f(1)-1\le 0 \\ \quad \\ 若f(0)=0或f(1)=1时，F(x)=0,即x_0=0,1时，使f(x_0)=x_0\\ \quad \\ 若f(0)>0，f(1)<0时，使用零点定理可知：\exist x_0 \in (0,1)，使F(x_0)=0,即f(x_0)=x_0 \\ \quad \\ 综上可证：存在x_0 \in [0,1]，使f(x_0)=x_0 令F(x)=f(x)−x，可知F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=f(0)−0≥0,F(1)=f(1)−1≤0若f(0)=0或f(1)=1时，F(x)=0,即x0=0,1时，使f(x0)=x0若f(0)>0，f(1)<0时，使用零点定理可知：∃x0∈(0,1)，使F(x0)=0,即f(x0)=x0综上可证：存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0
练习2：讨论方程 ln x = x e − 1 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内根的个数及范围 \ln x=\frac{x}{e}-1在区间(0,+\infty)内根的个数及范围 lnx=ex−1在区间(0,+∞)内根的个数及范围.
定理(零点定理)设 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)\cdot f(b)<0 f(a)⋅f(b)<0，则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) ，使 f ( ξ ) = 0 \xi \in (a,b)，使f(\xi)=0 ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0。
解： 令 f ( x ) = ln x − x e + 1 ，则 f ′ ( x ) = 1 x − 1 e = e − x e x 当 0 < x < e 时， f ′ ( x ) > 0 ， f ( x ) 单调递增； 当 x > e 时， f ′ ( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减； f ( 0 + ) = − ∞ < 0 , f ( e ) = 1 > 0 , f ( + ∞ ) = − ∞ < 0 在 ( 0 , e ) 使用零点定理： f ( 0 + ) . f ( e ) < 0 , ∃ ξ ∈ ( 0 , e ) ，使 f ( ξ ) = 0 在 ( e , ∞ ) 使用零点定理： f ( e ) . f ( + ∞ ) < 0 , ∃ ξ ∈ ( e , ∞ ) ，使 f ( ξ ) = 0 即： ln x = x e − 1 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内有且仅有两个不同实根，分别在 ( 0 , e ) , ( e , + ∞ ) 令f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+1，则f^{'}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}=\frac{e-x}{ex} \\ \quad \\ 当0<x<e时，f^{'}(x)>0，f(x)单调递增； \\ \quad \\ 当x>e时，f^{'}(x)<0,f(x)单调递减；\\ \quad \\ f(0^+)=-\infty<0,f(e)=1>0,f(+\infty)=-\infty<0 \\ \quad \\ 在(0,e)使用零点定理：f(0^+).f(e)<0,\exist \xi \in (0,e)，使f(\xi)=0 \\ \quad \\ 在(e,\infty)使用零点定理：f(e).f(+\infty)<0,\exist \xi \in (e,\infty)，使f(\xi)=0 \\ \quad \\ 即：\ln x=\frac{x}{e}-1在区间(0,+\infty)内有且仅有两个不同实根，分别在(0,e),(e,+\infty) 令f(x)=lnx−ex+1，则f′(x)=x1−e1=exe−x当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0,f(x)单调递减；f(0+)=−∞<0,f(e)=1>0,f(+∞)=−∞<0在(0,e)使用零点定理：f(0+).f(e)<0,∃ξ∈(0,e)，使f(ξ)=0在(e,∞)使用零点定理：f(e).f(+∞)<0,∃ξ∈(e,∞)，使f(ξ)=0即：lnx=ex−1在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根，分别在(0,e),(e,+∞)
由罗尔定理证
罗尔定理设 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，又设 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)，则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ∈(a,b)，使 f ′ ( ξ ) = 0 f^{'}(\xi)=0 f′(ξ)=0
费马定理设 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0在某领域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内有定义， f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)是 f ( x ) f(x) f(x)的一个极大(极小)值，又设 f ′ ( x 0 ) f^{'}(x_0) f′(x0)存在，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f^{'}(x_0)=0 f′(x0)=0
导函数的零点的存在性定理导数存在，则有结论： 如果 f ( x ) 有 k ( k ≥ 2 ) 如果f(x)有k(k\ge2) 如果f(x)有k(k≥2)个零点，则 f ′ ( x ) 至少有 ( k − 1 ) 个零点； ⋯ ; f ( k − 1 ) ( x ) 至少有一个零点 f^{'}(x)至少有(k-1)个零点；\cdots;f^{(k-1)}(x)至少有一个零点 f′(x)至少有(k−1)个零点；⋯;f(k−1)(x)至少有一个零点
至多有几个零点导数存在，则有结论：
如果 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x)没有零点，则 f ( x ) f(x) f(x)至多有1个零点；
如果 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x)至多有1个零点，则 f ( x ) f(x) f(x)至多有2个零点；
⋯ \cdots ⋯
如果 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x)至多有k个零点，则 f ( x ) f(x) f(x)至多有k+1个零点；
二阶导也遵循这样推理
练习1：设 f ( x ) 在 ( − ∞ , + ∞ ) f(x)在(-\infty,+\infty) f(x)在(−∞,+∞)内存在一阶导数，下面论断正确的是：
A、若 f ( x ) f(x) f(x)只有一个零点，则 f ′ ( x ) f{'}(x) f′(x)必无零点。
B、若 f ′ ( x ) f{'}(x) f′(x)至少有一个零点，则 f ( x ) f(x) f(x)至少有两个零点
C、如果 f ( x ) f(x) f(x)没有零点，则 f f ′ ( x ) ( x ) ff^{'}(x)(x) ff′(x)(x)至多有1个零点；
D、如果 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x)没有零点，则 f ( x ) f(x) f(x)至多有1个零点；
解： 依据 : 导函数的零点的存在性定理、至多有几个零点定理可知该题选 D 依据:导函数的零点的存在性定理、至多有几个零点定理可知该题选D 依据:导函数的零点的存在性定理、至多有几个零点定理可知该题选D