微积分复习笔记（2）：多变量微积分

一元函数: 可导 $⟺$ 可微 $⟹$ 连续 $⟹$ 极限存在.
多元函数: 偏导连续 $⟹$ 可微 $⟹$ 连续 $⟹$ 极限存在; 可微 $⟹$ 偏导存在.

${\lim }_{x\to 0,y\to 0}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$.
$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微, 即 $\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y⟺{\lim }_{x\to 0,y\to 0}\frac{f(x_0+x,y_0+y)-f(x,y)-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)y]}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}F[x,y,u(x,y),v(x,y)]=0\\ G[x,y,u(x,y),v(x,y)]=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{F}_u^{\prime }{u}_x^{\prime }+F_v^{\prime }{v}_x^{\prime }=-F_x^{\prime }\\ G_u^{\prime }{u}_x^{\prime }+G_v^{\prime }{v}_x^{\prime }=-G_x^{\prime }\end{array},\{\begin{array}{l}{F}_u^{\prime }{u}_y^{\prime }+F_v^{\prime }{v}_y^{\prime }=-F_y^{\prime }\\ G_u^{\prime }{u}_y^{\prime }+G_v^{\prime }{v}_y^{\prime }=-G_y^{\prime }\end{array} \\ J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}\ne 0,u_x^{\prime }=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)},v_x^{\prime }=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)},u_y^{\prime }=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)},v_y^{\prime }=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}. \end{gathered}$$

$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处取极值 $⟹$ 偏导存在时 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$, 或偏导不存在.
$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处有二阶偏导: $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$; $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=A$, $f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=B$, $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=C$, $\Delta =AC-B^2$.
$f(\Delta x,\Delta y)=\frac{1}{2}(\Delta x,\Delta y)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\end{array}\right)$.
$\Delta <0$ 且 $A<0(C<0)$ 时, 矩阵正定, 为极大值;
$\Delta <0$ 且 $A>0(C>0)$ 时, 矩阵负定, 为极小值;
$\Delta >0$ 时, 矩阵正负不定, 不为极值;
$\Delta =0$ 时不确定.

光滑闭曲线上与定点距离最近/最远的点的连线与该点处切线垂直; 两光滑闭曲线最近/最远点的连线为公垂线.

$y\ge kx+b$ 为直线上方; $y\le kx+b$ 为直线下方.

$D$ 关于 $(a,b)$ 对称时, ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\{\begin{array}{ll}2{\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& f(x,y)=f(2a-x,2b-y)\\ 0,& f(x,y)=-f(2a-x,2b-y)\end{array}$.

$D$ 关于 $y=x$ 对称时, ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D[f(x,y)+f(y,x)]\mathrm{d}\sigma$.

$${\iint }_{D_{xy}}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_{uv}}f[x(u,v),y(u,v)]\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v.$$

$${\iint }_{D_{xy}}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r.$$

$$(x_1,y_1,z_1)\times (x_2,y_2,z_2)=(y_1{z}_2-y_2{z}_1,z_1{x}_2-z_2{x}_1,x_1{y}_2-x_2{y}_1).$$

曲线 $F(x,y,z)=0\wedge G(x,y,z)=0$ 切向量 $\mathbf{\tau }=(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })\times (G_x^{\prime },G_y^{\prime },G_z^{\prime })$;
曲面 $z=z(x,y)$ 法向量 $\mathbf{n}=(z_x^{\prime },z_y^{\prime },-1)$.

二次曲面: 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$; 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; 抛物柱面 $y=a{x}^2(a>0)$; 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$; 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$; 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$; 二次锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$; 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z(p,q>0)$; 双曲抛物面(马鞍面) $-\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z(p,q>0)$ 或 $z=xy$.

旋转面: 曲面垂直于旋转轴的截面上交点到旋转轴距离总相等; 曲线 $\Gamma$ 绕直线 $L$ 旋转, $N$ 为直线上点, $\mathbf{\tau }$ 为直线方向向量, $M$ 为旋转面上点, 设 $P$ 为曲线上点; 总有 $|MN|=|PN|$ 和 $\overrightarrow{PM}\perp \mathbf{\tau }$; 与 $\Gamma$ 联立并消去 $P$.
柱面: 曲面上任意点处法向量总垂直于某定向量.
锥面: 曲面上点与一定点的连线(母线)总在曲面上; 曲线 $\Gamma$ 为准线, $E$ 为顶点, $M$ 为锥面上点, 设 $P$ 为曲线上点; 总有 $M,E,P$ 三点共线; 与 $\Gamma$ 联立并消去 $P$.

方向导数 $\frac{\partial u(x,y,z)}{\partial l}{|}_{P_0=(x_0,y_0,z_0)}={\lim }_{\rho \to 0^{+}}\frac{u(x_0+\rho \cos \alpha ,y_0+\rho \cos \beta ,z_0+\rho \cos \gamma )-u(x_0,y_0,z_0)}{\rho }=(u_x^{\prime }(P_0),u_y^{\prime }(P_0),u_z^{\prime }(P_0))\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$; 该点处方向导数最大值方向为梯度方向, 最大值为梯度模长.

$$\begin{gathered} u=u(x,y,z);\mathbf{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z));\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}); \\ \mathbf{grad}u=\nabla u;\mathrm{div}\mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F};\mathbf{rot}\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}. \end{gathered}$$

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 面积为 $\pi ab$.

投影穿线法: 区域 $\Omega$ 有上曲面 $z=z_2(x,y)$ 和下曲面 $z=z_1(x,y)$, 中间无侧面或侧面为柱面, 在 $xoy$ 平面上投影为 $D_{xy}$, 则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\iint }_{D_{xy}}\mathrm{d}\sigma {\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$.
定限截面法: 区域 $\Omega$ 有横截面 $D_z$, 高度范围为 $[z_1,z_2]$, 则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}V={\int }_{z_1}^{z_2}f(x,y,z)\mathrm{d}z{\iint }_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma$.

$${\iiint }_{{\Omega }_{xyz}}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{{\Omega }_{uvw}}f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w.$$

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{\Omega }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z;x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta .$$

$$\begin{gathered} {\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{\Omega }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ; \\ x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi . \end{gathered}$$

第一型曲线积分: $\mathrm{d}l=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}$.
第一型曲面积分: $\mathrm{d}S=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2+(\mathrm{d}z{)}^2}$.
第二型曲线积分: 做功; $\mathrm{d}y=y^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.
格林公式: 补线法(路径有关); 包含奇点且路径无关时(即 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$)换路径.
第二型曲面积分: 通量; ${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}z$, $D_{xy}$ 为 $\Sigma$ 在 $xoy$ 平面上投影, 外法向量 ${\mathbf{n}}_{\Sigma }$ 与 $z$ 轴正半轴夹角为锐角时(前侧/右侧/上侧)取正.
高斯公式: 补面法(散度不为 $0$); 含奇点且散度为 $0$ 时换面.

$$\begin{gathered} {\iint }_{\Sigma }(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_{\partial \Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{L};{\iiint }_{\Omega }(\nabla \cdot \mathbf{F})\mathrm{d}V=\iint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S};{\int }_{\Omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial \Omega }\omega . \\ \mathrm{d}\mathbf{L}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z);\mathrm{d}\mathbf{S}=(\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\mathrm{d}x\mathrm{d}z,\mathrm{d}y\mathrm{d}z)=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\mathrm{d}S. \end{gathered}$$

微元法
平面曲线弧长: $\mathrm{d}l=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}=\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta$.
极坐标平面面积: $\mathrm{d}S=\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{d}\theta$.
旋转体体积: $\mathrm{d}V=\pi r^2\mathrm{d}h=2\pi h{r}^2\mathrm{d}r$.
旋转体侧面积: $\mathrm{d}S=2\pi r\mathrm{d}l=2\pi l\mathrm{d}r$.
质量: $\mathrm{d}m=\rho \mathrm{d}l$ (线) $=\rho \mathrm{d}S$ (面) $=\rho \mathrm{d}V$ (体).
转动惯量: $\mathrm{d}I=r^2\mathrm{d}m$.
液体压力: $\mathrm{d}F=\rho gh\mathrm{d}S$.
做功: $\mathrm{d}W=\mathbf{L}\cdot \mathrm{d}\mathbf{F}$.
单质点引力分量: $\mathrm{d}{F}_{\theta }=G\frac{M\mathrm{d}m}{r^2}\cos \theta$.
质心: $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})\int \mathrm{d}m=\int (x,y,z)\mathrm{d}m$.
形心: ${\iint }_D(x,y)\mathrm{d}\sigma =(\bar{x},\bar{y})S_D$; ${\iiint }_{\Omega }(x,y,z)\mathrm{d}V=(\bar{x},\bar{y},\bar{z})V_{\Omega }$.