如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线

二次型曲线的定义

在二维欧式平面上，一个二次型曲线都可以写成一个关于$x,y$的二元二次多项式：
$$\begin{array}{c}F(x,y)=a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0\end{array}$$

其中$a_{11},a_{22},a_{12}$不全为零。

当交叉项系数$a_{12}$为零时，我们可以通过化简将二元二次多项式写为形如$\frac{(x+\alpha {)}^2}{a^2}\pm \frac{(y+\beta {)}^2}{b^2}=\pm 1$或$(y+\beta {)}^2=\pm 2p(x+\alpha )$这样的方程，这样就能够一目了然地看出曲线的类型是椭圆型、双曲线型还是抛物型。然而当交叉项系数$a_{12}$不等于零时，我们往往无法一眼看出曲线的类型。因此一个很自然的问题是，如何通过平面上的线性变换，将多项式的交叉项消去，最终得到一个简洁的形式。本文将介绍这个方法。

将二次型曲线写成矩阵形式

首先我们需要将$(1)$式改写成矩阵的形式，方便后续用矩阵对其进行线性变换。将多项式的二次项部分改写为：
$$\begin{array}{c}\phi (x,y)=a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2=(x,y)\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\mathbf{\zeta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{\zeta }\end{array}$$

其中$\mathbf{\zeta }=(x,y{)}^{\mathrm{T}}$；$\mathbf{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)$是二次项$\phi (x,y)$的系数矩阵。

同样也将$F(x,y)$改写成为矩阵的形式：
$$\begin{array}{c}F(x,y)=(x,y,1)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=({\mathbf{\zeta }}^{\mathrm{T}},1)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{\zeta }\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

其中$\mathbf{\kappa }=(a_1,a_2{)}^{\mathrm{T}}$；$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)$是多项式$F(x,y)$的系数矩阵。至此，我们将$(1)$式改写成为了矩阵乘法的形式：

$$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=({\mathbf{\zeta }}^{\mathrm{T}},1)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{\zeta }\\ 1\end{array}\right)=0\end{array}$$

通过转轴将交叉项系数消去

接下来我们尝试通过转轴矩阵消去二次曲线的交叉项。设转轴矩阵为$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$，则右手直角坐标系的转轴变换公式为：

$$\begin{array}{c}\mathbf{\zeta }=\mathbf{T}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }\end{array}$$

其中${\mathbf{\zeta }}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime }{)}^{\mathrm{T}}$。将$(5)$式写成三维形式：

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}\mathbf{\zeta }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{T}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

将$(6)$代入$(4)$式，得到：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}({\mathbf{\zeta }}^{\mathrm{T}},1)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{\zeta }\\ 1\end{array}\right)& =({{\mathbf{\zeta }}^{\prime }}^{\mathrm{T}},1)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{T}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)\\ & =({{\mathbf{\zeta }}^{\prime }}^{\mathrm{T}},1)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}& {\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=0\end{array}\end{array}$$

比较$(4)$与$(7)$，新的二次项系数矩阵变成了：
$$\begin{array}{c}\phi (x^{\prime },y^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}^{\prime }& a_{12}^{\prime }\\ a_{12}^{\prime }& a_{22}^{\prime }\end{array}\right)={\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}\end{array}$$

由于$\mathbf{T}$是正交矩阵，因此有$\mathbf{T}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{I}$。将$(8)$式同时左乘$\mathbf{T}$，得到：

$$\begin{array}{c}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}=\mathbf{T}\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}^{\prime }& a_{12}^{\prime }\\ a_{12}^{\prime }& a_{22}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$$

我们希望经过转轴后交叉项系数为0，即$a_{12}^{\prime }=0$。将转轴矩阵写成列向量形式$\mathbf{T}=({\mathbf{\tau }}_1,{\mathbf{\tau }}_2)$，则$(9)$式可以写为

$$\begin{array}{c}\mathbf{\Omega }({\mathbf{\tau }}_1,{\mathbf{\tau }}_2)=({\mathbf{\tau }}_1,{\mathbf{\tau }}_2)\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}^{\prime }& 0\\ 0& a_{22}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$$

展开后即得
$$\begin{array}{c}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\tau }}_1=a_{11}^{\prime }{\mathbf{\tau }}_1,\mathbf{\Omega }{\mathbf{\tau }}_2=a_{22}^{\prime }{\mathbf{\tau }}_2\end{array}$$

由$(11)$式我们发现，当通过转轴消去交叉项系数$a_{12}$时，新方程的$x^{\prime 2},y^{\prime 2}$项系数恰好是原二次项系数矩阵$\mathbf{\Omega }$的特征值，转轴矩阵的两个列向量是分别是特征值对应的特征向量。设$\mathbf{\Omega }$的特征值分别是${\omega }_1,{\omega }_2$，则消去交叉项后，二次项部分可以写为：

$$\begin{array}{c}{\omega }_1{x}^{\prime 2}+{\omega }_2{x}^{\prime y}\end{array}$$

再次比较$(4)$与$(7)$，新的一次项部分变成了

$$\begin{array}{c}2a_1^{\prime }{x}^{\prime }+2a_2^{\prime }{y}^{\prime }=2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }=2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}({\mathbf{\tau }}_1,{\mathbf{\tau }}_2)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=2({\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\tau }}_1,{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\tau }}_2)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\tau }}_1{x}^{\prime }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\tau }}_2{y}^{\prime }\end{array}$$

综合$(12),(13)$式，我们最终得到了消除交叉项后的二次曲线方程：

$$\begin{array}{c}{a}_{11}^{\prime }{x}^{\prime 2}+a_{22}^{\prime }{y}^{\prime 2}+2a_1^{\prime }{x}^{\prime }+2a_2^{\prime }{y}^{\prime }+a_0=0\end{array}$$

其中$a_{11}^{\prime }={\omega }_1,a_{22}^{\prime }={\omega }_2,a_1^{\prime }={\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\tau }}_1,a_2^{\prime }={\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\tau }}_2$，${\omega }_1,{\mathbf{\tau }}_1$与${\omega }_2,{\mathbf{\tau }}_2$是原二次项系数矩阵$\mathbf{\Omega }$的特征值与特征向量。

通过移轴，进一步化简方程

根据系数符号不同，需要分以下集中情况讨论。

情况1：特征值${\omega }_1,{\omega }_2$同号

此时得到的是椭圆型曲线。对$(14)$式配方化简后得到

$$\begin{array}{c}{a}_{11}^{\prime }(x^{\prime }+\frac{a_1^{\prime }}{a_{11}^{\prime }}{)}^2+a_{22}^{\prime }(y^{\prime }+\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}{)}^2+(a_0-\frac{a_1^{\prime 2}}{a_{11}^{\prime }}-\frac{a_2^{\prime 2}}{a_{22}^{\prime }})=0\end{array}$$

对$(15)$式进行移轴，令$x^{\prime \prime }=x^{\prime }+\frac{a_1^{\prime }}{a_{11}^{\prime }},y^{\prime \prime }=y^{\prime }+\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}$，则上式可以写为：

$$\begin{array}{c}{a}_{11}^{\prime }{x}^{\prime \prime 2}+a_{22}^{\prime }{y}^{\prime \prime 2}+c=0\end{array}$$

其中$c=a_0-\frac{a_1^{\prime 2}}{a_{11}^{\prime }}-\frac{a_2^{\prime 2}}{a_{22}^{\prime }}$。若$c\ne 0$，将$c$移至等号右侧，两边分别除以$-c$得到：

$$\begin{array}{c}\frac{x^{\prime \prime 2}}{-c/a_{11}^{\prime }}+\frac{y^{\prime \prime 2}}{-c/a_{22}^{\prime }}=1\end{array}$$

此时若$c$与$a_{11}^{\prime }$异号，则方程可以写为$\frac{x^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{-c/a_{11}^{\prime }}{)}^2}+\frac{y^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{-c/a_{22}^{\prime }}{)}^2}=1$，曲线是一个椭圆；若$c$与$a_{11}^{\prime }$同号，则方程可以写为$\frac{x^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{c/a_{11}^{\prime }}{)}^2}+\frac{y^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{c/a_{22}^{\prime }}{)}^2}=-1$，曲线是一个虚椭圆（无轨迹）。若$c=0$，曲线退化为一个点，坐标为$(-\frac{a_1^{\prime }}{a_{11}^{\prime }},-\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }})$，恰好是移轴后的新坐标原点。

此时我们已经通过一次转轴，一次移轴得到了$(16)$式，因此总的坐标变换公式为：

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }-\frac{a_1^{\prime }}{a_{11}^{\prime }}\\ y^{\prime \prime }-\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\tau }}_1{x}^{\prime \prime }-{\mathbf{\tau }}_1\frac{a_1^{\prime }}{a_{11}^{\prime }}\\ {\mathbf{\tau }}_2{y}^{\prime \prime }-{\mathbf{\tau }}_2\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}\end{array}\right)=\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right)-{\mathbf{T}}^{\prime }\end{array}$$

其中$\mathbf{T}=({\mathbf{\tau }}_1,{\mathbf{\tau }}_2)$是转轴矩阵，${\mathbf{T}}^{\prime }=（\frac{a_1^{\prime }}{a_{11}^{\prime }}{\mathbf{\tau }}_1,\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}{\mathbf{\tau }}_2{)}^{\mathrm{T}}$是移轴矩阵。

情况2：特征值${\omega }_1,{\omega }_2$异号

此时得到的是双曲型曲线。用同样的方法对$(14)$式移轴化简后得到

$$\begin{array}{c}{a}_{11}^{\prime }{x}^{\prime \prime 2}+a_{22}^{\prime }{y}^{\prime \prime 2}+c=0\end{array}$$

其中$c=a_0-\frac{a_1^{\prime 2}}{a_{11}^{\prime }}-\frac{a_2^{\prime 2}}{a_{22}^{\prime }}$。根据$c$不同分情况讨论，若$c$与$a_{11}^{\prime }$异号，则方程可以写为$\frac{x^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{-c/a_{11}^{\prime }}{)}^2}-\frac{y^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{c/a_{22}^{\prime }}{)}^2}=1$，曲线是一个双曲线；若$c$与$a_{11}^{\prime }$同号，则方程可以写为$\frac{y^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{-c/a_{22}^{\prime }}{)}^2}-\frac{x^{\prime \prime 2}}{(\sqrt{c/a_{11}^{\prime }}{)}^2}=1$，曲线同样是一个双曲线。若$c=0$，此时曲线退化成为一对相交的直线。总的坐标变换公式仍然是$(18)$式。

情况3：特征值${\omega }_1,{\omega }_2$有且仅有一个为0

容易证得特征值不可能全为0，否则必有$a_{11}=a_{22}=0$，原方程不再是二次曲线。不妨设${\omega }_1=a_{11}=0$，则$(14)$可以改写为：

$$\begin{array}{c}{a}_{22}^{\prime }(y^{\prime }+\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}{)}^2+2a_1^{\prime }{x}^{\prime }+c=0\end{array}$$

其中$c=a_0-\frac{a_2^{\prime 2}}{a_{22}^{\prime }}$。

1. 若$a_1^{\prime }\ne 0$，令$x^{\prime \prime }=x^{\prime }+\frac{a_0{a}_{22}^{\prime }-a_2^{\prime 2}}{2a_1^{\prime }{a}_{22}^{\prime }},y^{\prime \prime }=y^{\prime }+\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}$，做移轴后的方程为：

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime 2}=\frac{-2a_1^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}{x}^{\prime \prime }\end{array}$$

此时方程是一个抛物线方程，总的坐标变换公式为

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }-\frac{a_0{a}_{22}^{\prime }-a_2^{\prime 2}}{2a_1^{\prime }{a}_{22}^{\prime }}\\ y^{\prime \prime }-\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}\end{array}\right)=\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{a_0{a}_{22}^{\prime }-a_2^{\prime 2}}{2a_1^{\prime }{a}_{22}^{\prime }}{\mathbf{\tau }}_1\\ \frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}{\mathbf{\tau }}_2\end{array}\right)\end{array}$$

2. 若$a_1^{\prime }=0$，令$x^{\prime \prime }=x^{\prime },y^{\prime \prime }=y^{\prime }+\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}$，做移轴后的方程为：

$$\begin{array}{c}{a}_{22}^{\prime }{y}^{\prime \prime 2}+c=0\end{array}$$

若$c$与$a_{22}^{\prime }$异号，则曲线是一对平行直线；若$c$与$a_{22}^{\prime }$同号，曲线是一对虚直线（无轨迹）；若$c=0$，则曲线是一对与$x$轴重合的直线。此时总的坐标变换公式为：

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }-\frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}\end{array}\right)=\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{a_2^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}{\mathbf{\tau }}_2\end{array}\right)\end{array}$$

总结

上文证明了，通过转轴矩阵和移轴矩阵，根据二次项系数特征值的不同，任意二次曲线都可以化简为三个大类，分别是椭圆型曲线、双曲型曲线以及抛物型曲线。其中椭圆形曲线可能对应椭圆、虚椭圆、一个点三种情况；双曲型曲线可能对应双曲线、一对交叉直线两种情况；抛物型曲线可能对应抛物线、一对平行直线、一对虚平行直线、一对重合直线四种情况。共计九种情形。