【Python机器学习】2.2. 聚类分析算法理论：K均值聚类(KMeans Analysis)、KNN(K近邻分类)、均值漂移聚类(MeanShift)

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2.2.1. K均值聚类(KMeans Analysis)

K均值算法是以空间中K个点为中心进行聚类，对最靠近他们的对象归类，是聚类算法中最为基础但也最为重要的算法。

数学原理

计算数据点与各簇中心点的距离：
$$dist(x_i,u_j^t)$$
然后根据距离归类：
$$x_i\in u_{\text{nearest}}^t$$
最后更新中心：
$$u_j^{t+1}=\frac{1}{k}\sum _{x_i\in S_j}{x}_i$$

• $S_j$: $t$ 时刻第 $j$ 个区域簇
• $k$: 包含在 $S_j$ 范围内点的个数
• $x_i$: 包含在 $S_j$ 范围内的个数
• $u_j^t$: $t$ 状态下第 $j$ 区域中心

展开分析

我们来一步一步展开分析一下：

1. 计算数据点与各簇中心点的距离

$$\text{dist}(x_i,u_j^t)$$
这表示计算 数据点$x_i$与第$j$ 个簇中心 $u_j^t$ (注：$u_j^t$指的是第$j$个簇在第$t$轮迭代时的中心点)之间的距离。计算时一般都使用欧几里得距离：
$$\text{dist}(x_i,u_j^t)=\sqrt{\sum _d(x_{id}-u_{jd}^t{)}^2}$$

2. 根据距离归类

$$x_i\in u_{\text{nearest}}^t$$
这表示 将数据点$x_i$归类到最近的簇中心（即属于距离最近的$u_j^t$代表的簇）。

具体步骤是：

• 计算所有簇中心$u_j^t$与数据点$x_i$的距离。
• 找到最近的中心：
  $$j^{\ast }=\arg \underset{j}{\min }\text{dist}(x_i,u_j^t)$$
• 将$x_i$归类到最近的簇，即属于$j^{\ast }$号簇。

3. 更新中心

$$u_j^{t+1}=\frac{1}{k}\sum _{x_i\in S_j}{x}_i$$
这一公式用于更新每个簇的中心点，通过计算该簇内所有点的均值来更新中心。

• $S_j$是第$j$个簇内的所有数据点集合。
• $k$是该簇内数据点的个数。

计算步骤：

• 找到第 j 个簇的所有数据点，即所有归入该簇的$x_i$。
• 计算这些点的均值，更新该簇的中心：
  $$u_j^{t+1}=\frac{1}{k}\sum _{x_i\in S_j}{x}_i$$
• 重复以上步骤，直到收敛（即簇中心不再变化）。

算法流程

• 选择聚类的个数$k$
• 确定聚类中心
• 根据点到聚类中心聚类来确定各个点所属类别
• 根据各个类别数据更新聚类中心
• 重复以上步骤知道收敛(中心点不再变化时)
  

优缺点

优点：

• 原理简单，实现容易，收敛速度快
• 参数少，方便使用

缺点：

• 必须确定簇的数量
• 随机选择初始聚类中心会导致结果缺乏一致性

2.2.2. KMeans vs. KNN

KMeans的中文是K均值聚类，KNN的中文名是K近邻分类。这两者虽然名字很像，但是确是完全不同的两种算法。

有很多人容易搞混这两种算法，所里这里专门比较一下。

这幅图已经非常直观地展现了两者本质上的区别——KMeans是无监督学习，K近邻分类是监督学习。

在这里我们也介绍一下KNN：

给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的K个实例，这K个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类到这个类中。

2.2.3. 均值漂移聚类(MeanShift)

均值漂移算法是一种基于密度梯度上升的聚类算法（沿着密度上升方向寻找聚类中心点）

均值漂移算法相比K均值算法最大的优势就在于它不需要知道最终要分成几个簇。

数学原理

先均值偏移：
$$M(x)=\frac{1}{k}\sum _{x_i\in S_h}(u-x_i)$$

再更新中心：
$$u^{t+1}=M^t+u^t$$

其中：

• $S_h$: 以 $u$ 为中心点，半径为 $h$ 的高维球区域
• $k$: 包含在 $S_h$ 范围内点的个数
• $x_i$: 包含在 $S_h$ 范围内的点
• $M^t$: $t$ 状态下求得的偏移均值
• $u^t$: $t$ 状态下的中心

展开分析

接下来我们来展开分析一下：

1. 均值偏移计算

$$M(x)=\frac{1}{k}\sum _{x_i\in S_h}(u-x_i)$$
其中：

• $S_h$：以$u$为中心，半径为$h$的高维球区域（即邻域）
• $k$：邻域$S_h$内的点个数
• $x_i$：邻域$S_h$内的点
• $M(x)$：偏移均值，表示数据点分布的偏移方向

这个公式会：

• 计算邻域内所有点$x_i$到当前中心点$u$的偏差 ($u-x_i$)
• 对所有偏差求均值，得到中心点的漂移方向$M(x)$
• 如果$M(x)$远离当前中心点$u$ ，说明该区域的密度中心在别处，需要调整$u$位置。

核心思想是：

• 计算 当前中心点$u$位置的偏移量$M(x)$
• 这个偏移量基于$u$周围的邻域点进行计算

2. 更新中心点

$$u^{t+1}=M^t+u^t$$
这一公式用于更新均值漂移的中心点：

• 当前中心点$u^t$沿着均值偏移量$M^t$方向移动，得到新的中心$u^{t+1}$
• 该迭代过程 不断调整中心点位置，直到收敛（即$M(x)$接近0）

算法流程

• 随机选择未分类的点作为中心点
• 找出里中心点距离在带宽之内的点，记作集合$S$
• 计算从中心点到集合$S$中每个元素的偏移向量$M$
• 中心点以向量$M$移到
• 重复步骤2-4直到收敛
• 重复以上所有步骤直到所有的点都被归类
• 分类：根据每个类对每个点的访问频率，取访问频率最大的那个类作为当前集的所属类