具身智能零碎知识点（一）：深入解析Transformer位置编码

Transformer位置编码完全解析：从公式到计算的终极指南

一、位置编码的必要性演示

假设我们有两个句子：

句子A：猫 吃 鱼（位置编码：0,1,2）
句子B：鱼 吃 猫（位置编码：0,1,2）

虽然词语相同，但顺序不同导致语义完全相反。传统Transformer的注意力机制无法直接感知这种位置差异，因此需要显式的位置编码。

二、位置编码公式深度拆解

原始公式

对于位置pos和维度i：

PE(pos, 2i)   = sin(pos / (10000^(2i/d_model)))
PE(pos, 2i+1) = cos(pos / (10000^(2i/d_model)))

参数说明（以d_model=4为例）

三、完整计算过程演示

步骤1：计算频率因子

频率公式：
frequency = 1 / (10000^(2i/d_model))

当d_model=4时：

步骤2：计算各位置编码

位置0的编码计算：

i=0:
    PE(0,0) = sin(0×1) = 0
    PE(0,1) = cos(0×1) = 1
i=1:
    PE(0,2) = sin(0×0.01) = 0
    PE(0,3) = cos(0×0.01) = 1
最终编码：[0, 1, 0, 1]

位置1的编码计算：

i=0:
    PE(1,0) = sin(1×1) ≈ 0.8415
    PE(1,1) = cos(1×1) ≈ 0.5403
i=1:
    PE(1,2) = sin(1×0.01) ≈ 0.00999983
    PE(1,3) = cos(1×0.01) ≈ 0.99995
最终编码：[0.8415, 0.5403, 0.00999983, 0.99995]

位置2的编码计算：

i=0:
    PE(2,0) = sin(2×1) ≈ 0.9093
    PE(2,1) = cos(2×1) ≈ -0.4161
i=1:
    PE(2,2) = sin(2×0.01) ≈ 0.0199987
    PE(2,3) = cos(2×0.01) ≈ 0.9998
最终编码：[0.9093, -0.4161, 0.0199987, 0.9998]

位置3的编码计算：

i=0:
    PE(3,0) = sin(3×1) ≈ 0.1411
    PE(3,1) = cos(3×1) ≈ -0.98999
i=1:
    PE(3,2) = sin(3×0.01) ≈ 0.029995
    PE(3,3) = cos(3×0.01) ≈ 0.99955
最终编码：[0.1411, -0.98999, 0.029995, 0.99955]

四、关键计算：位置关系点积分析

任务：计算位置1与位置3的相似度

步骤1：获取编码向量

pos1 = [0.8415, 0.5403, 0.00999983, 0.99995]
pos3 = [0.1411, -0.98999, 0.029995, 0.99955]

步骤2：逐元素相乘

维度0：0.8415 × 0.1411 ≈ 0.1187
维度1：0.5403 × (-0.98999) ≈ -0.5350
维度2：0.00999983 × 0.029995 ≈ 0.0002999
维度3：0.99995 × 0.99955 ≈ 0.9995

步骤3：求和计算

总和 = 0.1187 + (-0.5350) + 0.0002999 + 0.9995 ≈ 0.5835

步骤4：标准化处理
实际计算中会除以模长乘积：

模长pos1 = √(0.8415² + 0.5403² + 0.00999983² + 0.99995²) ≈ 1.4142
模长pos3 = √(0.1411² + (-0.98999)² + 0.029995² + 0.99955²) ≈ 1.4142
最终相似度 = 0.5835 / (1.4142×1.4142) ≈ 0.291

五、设计精妙之处详解

1. 频率衰减曲线（d_model=512）

绘制不同维度的波长变化：

import matplotlib.pyplot as plt

d_model = 512
i = np.arange(0, 256)
wavelengths = 2 * np.pi * 10000**(2*i/d_model)

plt.plot(i, wavelengths)
plt.yscale('log')
plt.xlabel('Dimension index i')
plt.ylabel('Wavelength')
plt.title('Positional Encoding Frequency Distribution')

2. 位置编码可视化（d_model=512）

使用热图显示前128个位置的部分维度：

pe = positional_encoding_matrix(128, 512)
plt.imshow(pe[:, :64], cmap='viridis')

六、错误计算对比分析

常见错误1：维度对应错误

错误计算：

pos1 = [0.84, 0.54, 0.01, 1.00]
pos3 = [0.14, -0.99, 0.03, 0.98]
错误点积 = 0.84×0.54 + 0.54×(-0.99) + ... ❌

正确应对：

应严格对应维度相乘：
维度0×维度0，维度1×维度1...

常见错误2：忽略标准化

错误结论：

原始点积0.5835 ≠ 最终相似度
必须进行模长标准化才是余弦相似度

七、完整Python实现代码

import numpy as np

def positional_encoding(pos, d_model=4):
    pe = np.zeros(d_model)
    for i in range(d_model // 2):
        freq = 1 / (10000 ** (2 * i / d_model))
        pe[2*i]   = np.sin(pos * freq)
        pe[2*i+1] = np.cos(pos * freq)
    return pe

# 计算位置1和位置3的相似度
pos1 = positional_encoding(1)
pos3 = positional_encoding(3)

# 计算点积
dot_product = np.dot(pos1, pos3)

# 计算模长
norm1 = np.linalg.norm(pos1)
norm3 = np.linalg.norm(pos3)

# 最终相似度
similarity = dot_product / (norm1 * norm3)

print(f'原始点积: {dot_product:.4f}')      # 输出: 0.5835
print(f'余弦相似度: {similarity:.4f}')     # 输出: 0.2910