实信号的傅里叶变换为何属于埃尔米特函数？从数学原理到 MATLAB 动态演示

引言

在信号处理领域，傅里叶变换是分析信号在频域表现的重要工具。特别是对于实信号，实信号是指在时间或空间域内取值为实数的信号，例如音频信号、温度变化等，它的傅里叶变换展现了一个非常特殊的数学性质——共轭对称性，使得其变换结果属于埃尔米特函数。本文将从傅里叶变换的基本定义出发，结合数学推导，进一步探讨实信号傅里叶变换为何具备埃尔米特函数的特性。最后，通过 MATLAB 动态演示来帮助读者直观理解这一性质的应用。

1. 传递函数 $G(s)$ 的定义

传递函数 $G(s)$ 是系统输出 $Y(s)$ 与输入 $X(s)$ 的拉普拉斯变换之比：
$$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$
其中，$s$ 是复频域变量，定义为 $s=\sigma +\mathrm{j}\omega$，其中 $\sigma$ 是实部，$\mathrm{j}\omega$ 是虚部。传递函数可以帮助我们分析线性时不变系统的动态特性。

2. 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

• 拉普拉斯变换 是信号 $f(t)$ 在复频域上的表示：
  $$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$
• 如果取 $s=\mathrm{j}\omega$，即 $\sigma =0$，则拉普拉斯变换退化为傅里叶变换：
  $$F(\mathrm{j}\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}dt$$
  傅里叶变换是实信号的频域描述，是拉普拉斯变换的特例。当信号的频域描述关注的是正负频率的成分时，傅里叶变换提供了清晰的视角。

3. 实信号的傅里叶变换属于埃尔米特函数

对于一个实值时间信号 $f(t)$，其傅里叶变换 $F(\mathrm{j}\omega )$ 具有共轭对称性。这一对称性表明，傅里叶变换的频域表示在正频率和负频率上是镜像对称的，但负频率部分是正频率部分的复共轭。

3.1 定义傅里叶变换的共轭关系：

$$F(\mathrm{j}\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}dt$$

• 对于实值函数 $f(t)$，信号的复共轭满足：
  $$\overline{F(\mathrm{j}\omega )}={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{\mathrm{j}\omega t}dt=F(-\mathrm{j}\omega )$$
• 因此：
  $$F(-\mathrm{j}\omega )=\overline{F(\mathrm{j}\omega )}$$

这种对称性称为 共轭对称性，它意味着傅里叶变换的频域表达在正频率和负频率上是对称的，而负频率部分是正频率部分的复共轭。

3.2 埃尔米特函数的定义与共轭对称性

埃尔米特函数的定义是：
$$H(-x)=\overline{H(x)}$$
傅里叶变换 $F(\mathrm{j}\omega )$ 满足共轭对称性，因此其在数学上被归类为埃尔米特函数。傅里叶变换在频域的对称性使其成为一种特殊的复值函数，具有埃尔米特函数的性质。

4. 直观理解实信号傅里叶变换的对称性

• 实信号在频域的正负频率成分是镜像对称的，这源于复指数 $e^{-\mathrm{j}\omega t}$ 的对称性。
• 实信号的频谱对称性意味着，我们在频域中看到的信息包含了整个信号的特性。正频率部分的幅度和相位信息在负频率上得到了“镜像”体现。

这一对称性在实际应用中具有重要意义，尤其是在信号处理和通信领域，它帮助我们有效地利用信号的频域特性进行滤波、调制解调等操作。

5. MATLAB可视化

为了帮助直观理解实信号傅里叶变换的对称性，下面通过 MATLAB 动态演示信号的傅里叶变换及其相位变化。

% 动态演示傅里叶变换中相位的变化

% 定义时间和信号
t = -2:0.01:2;  % 时间从 -2 到 2，步长 0.01
f = sin(2*pi*5*t) + 0.5*cos(2*pi*10*t);  % 信号：5Hz 正弦 + 10Hz 余弦

% 计算傅里叶变换参数
N = length(f);  % 信号长度
f_axis = linspace(-N/2, N/2-1, N);  % 频率轴

% 初始化图形
figure;

% 时域信号子图
subplot(3, 1, 1);
time_plot = plot(t, f, 'LineWidth', 1.5);
title('时域信号');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅值');
grid on;

% 频域幅值子图
subplot(3, 1, 2);
freq_mag_plot = plot(f_axis, zeros(1, N), 'LineWidth', 1.5);
title('频域幅值');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('幅值');
grid on;

% 频域相位子图
subplot(3, 1, 3);
freq_phase_plot = plot(f_axis, zeros(1, N), 'LineWidth', 1.5);
title('频域相位');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('相位 (弧度)');
grid on;

% 动态更新图像
for k = 1:N
    % 动态生成信号窗口
    dynamic_f = sin(2*pi*5*t) .* (t < t(k) & t >= t(1)) ...
              + 0.5*cos(2*pi*10*t) .* (t < t(k) & t >= t(1));
    
    % 实时计算傅里叶变换
    dynamic_F = fft(dynamic_f);
    dynamic_F_shifted = fftshift(dynamic_F);

    % 幅值和相位
    dynamic_mag = abs(dynamic_F_shifted);
    dynamic_phase = angle(dynamic_F_shifted);  % 相位以弧度表示

    % 更新时域信号图
    set(time_plot, 'YData', dynamic_f);

    % 更新频域幅值图
    set(freq_mag_plot, 'YData', dynamic_mag);

    % 更新频域相位图
    set(freq_phase_plot, 'YData', dynamic_phase);

    % 暂停以生成动画效果
    pause(0.05);
end

6. 总结

• 拉普拉斯变换退化为傅里叶变换（即 $s=\mathrm{j}\omega$）时，实信号的傅里叶变换具有共轭对称性。
• 这种共轭对称性使得傅里叶变换符合埃尔米特函数的定义，成为一种具有特殊性质的复值函数。
• 在信号处理领域，傅里叶变换的这种对称性对于分析和处理实信号至关重要。
• 通过 MATLAB 的动态演示，读者可以更好地理解实信号频谱随时间变化的动态过程。

你认为傅里叶变换的这种对称性在实际应用中有哪些潜在价值？欢迎在评论区分享你的想法。