【概率论】条件期望

在高等概率论中，给定一个概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 和其子 $\sigma$-代数 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$，随机变量 $X$ 关于 $\mathcal{G}$ 的 条件期望 $E[X|\mathcal{G}]$ 是一个满足以下两个条件的随机变量：

1. $\mathcal{G}$-可测性：$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ 是 $\mathcal{G}$-可测的函数。
2. 积分等式：对任意 $A\in \mathcal{G}$，有
   $${\int }_A\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]dP={\int }_{A}XdP.$$

关键点解析：

• 存在性与唯一性：由Radon-Nikodym定理保证，$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ 在几乎必然意义下唯一存在。
• 直观意义：$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ 是在已知 $\mathcal{G}$ 所包含的信息（即 $\mathcal{G}$-可测事件）时，对 $X$ 的“最佳预测”。
• 特例：若 $\mathcal{G}=\sigma (Y)$ 由另一个随机变量生成，则 $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ 可记为 $\mathbb{E}[X|Y]$，表示给定 $Y$ 时 $X$ 的期望。

与其他定义的关联：

• 若 $(X,Y)$ 有联合密度 $f(x,y)$，则 $\mathbb{E}[X|Y=y]=\int xf(x|y)dx=\frac{\int xf(x,y)dx}{\int f(x,y)dx}$，其中 $f(x|y)$ 为条件密度。测度论定义将此推广到更一般的场景，因此条件期望 $\mathbb{E}[X|Y=y]$ 是关于 $y$ 的函数。

性质：

条件期望具有线性性、单调性、塔性质（迭代期望）等，例如：
• 线性性：$\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{G}]=a\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]$。
• 塔性质：若 $\mathcal{H}\subseteq \mathcal{G}$，则 $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|\mathcal{H}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]$。
• 数学期望与条件期望 $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]]=\mathbb{E}[X]$。