参考链接：
[1]https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k
[2]https://github.com/teorth/equational_theories
“ 数学是上帝用来书写宇宙的一种语言。”
陶哲轩罕见接受了一次长访谈，把他关于数学、AI、教育和人类智慧的最新认知，都对外分享了。
作为菲尔兹奖得主，陶哲轩一直被认为是当世最伟大的数学家之一，而这次在与MIT技术背景的播客大神Lex Fridman的对话，也是他近年来首次接受超3小时的非学术机构访谈，内容覆盖数学前沿、AI形式化验证、科研方法论等多个硬核议题。
不仅谈论分享了数学和物理相关的专业性观点，还结合当下AI技术迅速发展的背景，作出了很多像基础教育和AI应用的大众话题思考……
陶哲轩金句频出，比如：
- AI和菲尔兹奖的距离，只差一个研究生了。
- 复数意义上的人类共同体将创造出最顶尖的超级智能体，比单个数学家更有可能实现数学领域的突破。
- 数学的关键在于不仅是找到一个有效的技术路径，而是在几十种可能适用的方法中排除错误答案。
- 科学通常是三者之间的相互作用：现实世界、我们对现实世界的观察，以及我们认为世界如何运作的模型。
- 在理解和看待世界的方式上，数学从公理出发关注模型，物理由结论驱动注重收集结果。
- 在AI的协助下，数学在未来将会有更多的实验，而不仅仅是理论。
- 数学之美在于你可以随心所欲地改变规则，这是其它任何领域都无法做到的一点。
- 解决困难问题就像香港动作片，逐个击破，方得大成。
- 陶哲轩认为，AI正在重塑人类科学范式，数学和物理的终极问题上，AI将成为人类探索这些范式的重要伙伴，但无法取代人类的直觉与创造力。
而关于数学，他也深入浅出地谈论了以下世界级数学难题——
- Kakeya猜想
- 纳维-斯托克斯正则性问题
- 塞迈雷迪定理
- 万物理论
- 广义相对论
- 庞加莱猜想
- 孪生素数猜想
- 克拉兹猜想
- 黎曼假设
- 费马大定理
这是一次高智力、高密度和高强度的三高对话，如果你也做好了“大脑尖叫”的准备，一起来看这篇访谈全文吧～
本科教育只需要解决10%的问题
Q：你遇到的第一个真正困难的研究级数学问题是什么？
陶哲轩：在本科教育中，你会学到那些真正困难的、甚至看起来是不可能解决的问题，比如黎曼假设、孪生素数猜想。但事实上这并不算什么，真正有趣的是，那些现有技术能完成大约90%的工作，而你只需要解决剩下10%的问题。
在博士期间，Kakeya问题引起了我的注意，事实上这个问题刚刚得到解决，这也是我在早期研究中投入很多的一个问题。历史上，它源于日本数学家Soji Kakeya在1918年左右提出的一个小谜题。
这个谜题是：假设你在平面上时有一根针，或者想象成在路上开车时要执行一个U型转弯，你想在尽可能小的空间内，让这根针调转方向。
但这根针的移动是无限的，所以可以把它视作一个围绕中心旋转的单位指针。这需要一个面积为π/4的圆盘。
或者你可以做一个三点掉头，实际上只需要π/8的面积。所以，它比旋转更高效。因此，一段时间内，人们认为这是调转指针方向最有效的方法。
但是Besicovitch证明了，事实上可以用任意小的面积来让这根针掉头，比如0.001。所以可以有多种花哨的来回掉头操作，来实现这一点，这样就能让针在掉头过程中穿过每一个中间方向。
这发生在二维平面上。我们理解二维中的一切，那么接下来的问题是，在三维空间中会发生什么？
假设哈勃太空望远镜是太空中的一根管子，如果你想观测宇宙中的每一颗恒星，就需要旋转望远镜以指向每一个方向。
做一个不切实际的构想：假设空间非常宝贵，虽然实际并不是如此，你需要占据尽可能小的体积来旋转你的针，也就是望远镜。那么需要多小的体积才能做到这一点？你可以试图修改基本构造，让望远镜厚度为零，这样就可以使用任意小的体积。
但问题是，如果你的望远镜不是零厚度，而是很薄的厚度delta，那么作为delta的函数，能够看到所有方向所需的最小体积会是多少？
以及随着delta变小，针变细，体积也会减小，但下降速度有多快呢？当时的猜想是它下降得非常非常慢，就像呈对数速度下降，这一点在经过大量工作后也得到了证实。
这个问题有趣的点在于，结果证明它与偏微分方程、数论、几何、拓扑学、组合学中的许多问题都有着惊人的联系。
例如，在波传播中，当你向周围泼洒一些水并溅起水波，它们会向周围各个方向传播，但波同时表现出粒子和波的行为，得到所谓的“波包”，它在空间中非常局限，并随着时间向某个方向移动。如果在空间和时间上绘制它，会显示出一个管状区域。
因此可能会出现，一个最初非常分散的波，在稍后的某个时间节点上，全部聚焦到一点。就像将一颗鹅卵石扔进池塘，涟漪会扩散开。但如果你对该场景进行时间逆转，并且要知道波动方程是时间可逆的，你就可以想象涟漪会汇聚到一个点上，然后发生巨大的飞溅，甚至可能产生奇点。
从几何学上讲，光线也是如此。如果这个波代表光，将波看作是光子的叠加，且光子都沿着光线传播，并且都最终聚焦在一点上。
因此你可以在空间和时间的某个点上，将一个非常分散的波聚焦成一个非常集中的波，但之后它又会再次散开并分离。
但如果该猜想有一个负解，那么这意味着有一种非常高效的方法，可以将指向不同方向的管子打包汇集到一个非常狭窄的小体积区域。
那么你也将能够创造出一些波，它们开始时非常分散，但它们最终不仅会集中在一个点上，在时空中也会有大量的集中点，你将创造出所谓的爆炸，波的振幅将变得相当大，以至于它们所依靠的物理定律不再是波动方程，而是更复杂和非线性的东西。
所以在数学和物理中，我们非常关心某些波动方程是否稳定，是否能够产生奇点。
在波动方程中，**奇点**指的是方程解在某个点或区域出现失控状态（如能量密度无限大、速度无限大等极端情况），导致数学描述失效或物理规律无法适用的临界点 。
例如，当波的能量在有限时间内无限集中于一点时，方程的解就会“爆炸”形成奇点，破坏系统的稳定性。
通过改变物理规律来制造爆炸
Q：您能否谈一下纳维-斯托克斯问题？
陶哲轩：有一个著名的未解决问题，叫做纳维-斯托克斯正则性问题，即控制水等不可压缩流体的流动。
问题在于，如果你从一个平滑的水流速度场开始，它是否会集中到如此大的程度，以至于从某一点开始速度变得无穷大，而这一点就是奇点。当然现实生活中我们不会亲眼看到。
事实上，近年来人们已经达成了共识，对于某些非常特殊的初始构型，比如水，可以形成奇点，只是还未能真正证实。
在克莱基金会的七个千禧年问题中，解决其中一个问题就可获得一百万美元奖金，而这就是其中之一。当中只有庞加莱猜想已经被解决。
所以虽然Kakeya猜想与纳维-斯托克斯问题没有直接联系，但理解Kakeya猜想有助于我们理解波集中这样的问题，这可能会间接帮助我们更好地理解纳维-斯托克斯问题。
这就是数学家区别于几乎所有其他人的地方。如果某件事在99.99%的情况下成立，那么对大多数事情来说，这就足够了。但数学家会关心是否100%涵盖所有情况。大多数时候，水不会爆炸，但也许能设计一个非常特殊的初始状态让它爆炸。
克莱奖问题涉及所谓的不可压缩纳维-斯托克斯方程，它控制像水这样的流体。还有所谓的可压缩纳维-斯托克斯方程，支配像空气这样的流体。
在天气预报中就有很多流体动力学计算，需要收集大量数据以便能够初始化纳维-斯托克斯方程，甚至尽可能求解它，所以它在实际生活中非常重要。
Q：为什么证明方程的一般性结论会如此困难？
陶哲轩：举个例子就是麦克斯韦妖。麦克斯韦妖是热力学中的一个概念，假设你有一个同时装有氧气和氮气的盒子，彼此之间没有隔板阻碍，理应保持混合。
而此时也许会有一个叫做麦克斯韦妖的微观恶魔，促使每次氧气和氮气原子碰撞时，会以某种方式反弹，让氧气全都飘到一侧，而氮气流向另一侧。
这是一种统计学上的不可能构型，但在数学上经常发生。
例如圆周率π的位数 3.14159……。这些数字看似没有规律，实则从长远看，能看到和4、5、6一样多的1、2、3，理论上不应当偏向某一个数字，但也许π中也存在一个恶魔，当你计算越多位数时，它都会偏向某个数字，但我们目前的技术无法证明。
所以回到纳维-斯托克斯问题，流体具有一定的能量，并且因为流体在运动，能量会被四处传递，同时水具有粘性，如果能量分散在许多不同的位置，流体的自然粘性就会使能量衰减并趋于零。
这在我们实际用水做实验时常会发生，比如泼水时出现的湍流或波浪，最终会稳定下来，振幅越低，速度越小，就越平静。
但也许存在某种恶魔，它不断地将流体的能量推向越来越小的规模，移动速度越来越快，在更快的速度下，粘度影响较小。
因此它可能会创造一种所谓的自相似爆破场景，其中流体的能量从某个大尺度开始，都转移至流体中的一个较小区域，然后以更快的速度移动到更小的区域，依此类推。
每次花费的时间可能是前一次时间的一半，然后可以在有限时间内收敛到集中于一点上的所有能量，即有限时间爆破。
所以如果你有一个大的水漩涡，它往往会分裂成更小的漩涡，但它不会把所有的能量从一个大漩涡全部转移到某一个小漩涡，而是分散转移到三四个小漩涡，小漩涡再各自分裂成三四个更小的漩涡。能量被分散到粘性可以控制一切的程度。
但如果能以某种方式集中所有能量，并且做得足够快，以至于粘性效应没有足够的时间来平息一切，那么爆炸就会发生。
所以有些论文声称，只需要考虑能量守恒，并小心使用粘性，你就可以控制纳维-斯托克斯方程，甚至还可以控制许多类似类型的方程。
所以过去人们多次尝试获得纳维-斯托克斯的全局正则性，这与有限时间爆炸相反，速度需要保持平滑，但所有尝试都失败了，总是存在一些无法挽救的符号错误或其它错误。
所以我感兴趣的是，为什么我们无法证伪有限时间爆破。如果能平均纳维-斯托克斯运动方程，那么我就能关闭某些水的相互作用方式，只保留部分需要的。
特别是如果有一个流体，它可以将能量从一个大涡流转移到小涡流，我会关闭将能量转移到其它漩涡的通道，而只引导它进入该小漩涡，同时仍然保持能量守恒定律。
我希望通过改变物理规律来制造爆炸，这是数学家可以做到的事情。
但也存在数学障碍，所以我做的工作是，当关闭方程的某些部分，它的非线性程度会降低，也会更趋向规则，不太容易爆炸。但我也发现，通过关闭一组精心设计的相互作用，我可以迫使所有能量在有限时间内完成爆炸。
这意味着，如果想要证明纳维-斯托克斯方程的全局正则性，必须利用真实方程所具有的某些特征，而这些特征是我的人工方程所无法满足的。因此某些方法得以排除。
所以数学的关键在于，它不仅仅是找到一个有效的技术并应用它，而是你需要避开那些无效的技术。对于真正困难的问题，通常有几十种你可能认为适用的方法，但只有在积累了大量经验后，你才能意识到这些方法根本行不通。
所以为邻近问题寻找反例，就可以排除掉它，从而节约时间，不会将精力浪费在根本不可能成功的事情上。
我的技术利用的就是超临界性。在偏微分方程中，方程之间就像不同力量在拔河。而在纳维-斯托克斯方程中，有两个相互竞争的项：耗散项和传输项。如果来自粘性的耗散项占主导，那么你会得到正则性。如果传输项占主导，这将是一个不可预测的非线性情况。
但这些力在小尺度上保持平衡，但在大尺度上不平衡。纳维-斯托克斯方程就是超临界方程。在越来越小的尺度上，传输项比耗散项强得多，所以粘性使事物平静下来。
这就是为什么在二维中问题很棘手，苏联数学家Ladyshenskaya在60年代就证明了在二维中没有爆炸，纳维-斯托克斯方程在二维是临界的，即使在非常小的尺度上，传递效应和粘性效应的强度始终大致相同。
我们目前有很多技术来处理临界和次临界方程，并证明其正则性，但对于超临界方程，情况尚不清楚。我对此做了很多工作，也有很多后续研究表明，对于许多其他类型的超临界方程，你可以构造出各种各样的爆炸示例。
一旦非线性效应在小尺度上主导了线性效应，各种坏事都可能发生。所以超临界性与临界性和次临界性会造成了很大的差异。
这是一个关键的定性特征，它区分出一些好的、可预测的方程，比如某些方程可以预测数百万年或者至少数千年的行星运动。但我们无法将天气预测到未来两周以上，因为这是一个超临界方程。因此方程在精细尺度上的非线性非常有趣。
而对于解决纳维-斯托克斯方程，有一种天真的方法，就是不断推动它进入下一个尺度，试图强制让其爆炸。事实证明，这在五维或更高维度中行得通。
但在三维中，我发现了一个有趣的现象，如果你改变物理定律，总是试图将能量推入更小的尺度，能量虽然确实扩展出去了，但上一个尺度上仍然残留有部分能量。结果这使它更容易受到粘性的影响，因此这种直接推进是不可行的。
所以我需要编程一个类似于气闸的延迟，让它在能量推入下一个尺度前一直停留，直到所有能量都被传递到该尺度上，才会开启进入下一个更小尺度的闸门。这样能量就可以逐级推进，抵抗粘性的影响。
当然这需要构造一个相当复杂的非线性项，类似电子电路，利用电阻器和电容器的堆叠，创造一个门，然后利用时钟建立阈值。这类似于鲁布·戈德堡机械，却是用数学描述的，这最终奏效了。
我意识到，也许能在实际方程中完成同样的事情，例如将水的方程式想象成一种蒸汽朋克的东西。类比现代计算机由电子通过非常细小的电线，并与其他电子相互作用实现驱动。
想象水脉冲也以特定速度移动，可能存在两种不同的构型，分别对应开或关。如果让两个运动水体碰撞，它会产生新的构型，比如“与门”或“或门”，这样输出将以一种可预测的方式依赖于输入。
将它们链接起来，也许能创造一台图灵机，一台完全由水制成的计算机。接下来就可以做机器人技术，比如液压等。可以创造一些流体模拟的机器，即冯·诺依曼机。
根据冯·诺依曼移民火星的提议，仅仅光机器运送人力的成本就高得离谱。但如果能运送一台机器到火星，它可以自行开采火星材料并冶炼新机器，那么移民是可行的。
也就是建造一个流体机器，在某种寒冷状态下可以创建自身的更小版本。大的水态机器人会将所有能量转移到更小的构型，然后关机进行自我清理。然后新构型，它会启动并做相同的事情，但更小更快。
而方程具有一定的缩放对称性，可以实现不断迭代。但实际上会让纳维-斯托克斯方程创造一个爆炸。
但现在这只是一个空想，因为有太多缺失的东西使它无法成为现实，例如无法创造基本的逻辑门、没有特殊的水构型、模拟计算总是存在错误、如何关闭大机器的电源而不干扰小机器的写入等等。
它不违背任何物理定律，所以原则上一切都可以发生。当然现在也有其他小组正在追求使纳维-斯托克斯爆炸的方法，他们实际上正在追求更接近直接自相似模型的东西，可以不完全按原样工作，也可能存在有比我刚才描述的更简单的方案来实现它。
生命游戏是一个离散方程
陶哲轩：数学的关键在于，它非常擅长发现一些完全不同的问题之间的联系。
只要数学形式相同，就能建立联系。所以以前有很多关于元胞自动机的工作，其中最著名的是康威生命游戏。
存在一个无限的离散网格，在任何给定时间内，网格要么被一个细胞占据，要么是空的，并且有一个非常简单的规则，会告诉你这些细胞如何演化。所以，有时候细胞是存活的，有时候它们是死亡的。
这曾是一个非常流行的屏幕保护程序，实际上就是持续播放这些动画，它们彼此之间相当混乱，甚至有时看起来会像湍流。
但在某个时刻，人们在这个生命游戏中发现了越来越多有趣的结构，例如滑翔机。滑翔机是一个由四五个细胞组成的微小构型，它会像漩涡环一样朝着某个方向进化。
当然这是一个类比，生命游戏是一个离散方程，而纳维-斯托克斯则是一个连续方程，但在数学上它们存在相似的特征。所以随着时间的推移，可以在生命游戏中构建更多有趣的东西。
它是一个非常简单的系统。只需要大约三四个规则就可以实现。再比如有个叫滑翔机枪的东西，它除了吐出一个接一个的滑翔机之外，什么都不做。然后经过科学家的大量努力，终于设法为滑翔机构建了“与门”和“或门”。
这将是一个巨大的荒谬结构，即如果有一串滑翔机流入，另一串滑翔机也流入，那么也许将会有一串新生成的滑翔机流出。但如果只有其中一串含有滑翔机，则不会有输出。
所以一旦你可以构建这些基本门，那么仅仅通过软件工程，你就几乎可以构建任何东西，甚至一台巨大的蒸汽朋克类型的图灵机。
后来人们也确实在生命游戏中生成了可自我复制的巨大机器，一台冯·诺依曼机器，在很长一段时间内，人们认为它的内部就像滑翔机枪在完成计算，因为它会自我创建另一个可以复制的自己。
实际上，这其中很多工作都是由业余数学家们一起完成的。这也是启发我提出在纳维-斯托克斯方程中做同样事情的部分原因。
当然，模拟要比数字差得多，不能直接把生命游戏中的构造放进去。但它也再次说明，这是存在可能性的。
Lex Fridman：细胞自动机中会发生类似于流体的涌现，大规模运作的局部规则可以创造出极其复杂的动态结构。那么其中有任何部分适合进行数学分析的吗？或者是否存在工具加以解释。
陶哲轩： 问题是，只有通过非常精心准备的初始条件，才能获得这种涌现的复杂结构。对于滑翔机枪、门和自推进机器，如果只是随机放置细胞，那么将不会出现此类结构。
这与纳维-斯托克斯方程的情况类似，在典型的初始条件下，不会进行任何奇怪的计算。但通过工程或者以非常特殊的方式专门设计，就可以做出足够聪明的构造。
这在数学中是一个反复出现的挑战，可以称之为结构与随机性之间的二分法，即数学中的大多数生成对象都是随机的，只有极少数事物存在固定模式。
但现在，我们可以通过构造来证明某物存在模式，只要能够证明它确实每隔一段时间就会重复自己一次。例如，你可以证明大多数数字序列都没有模式。只要随机选取数字，就会出现大数定律，它会说明，从长远来看，你会得到和2一样多的1。
但如果给定一个特殊模式，比如π的数字，该如何证明它没有某种奇怪的模式呢？于是我花了很多时间，做的另一项工作是证明所谓的结构定理或逆定理，这些定理将会为事物何时可以变得非常结构化而提供检验。
有些函数是含有加性的，比如你有一个自然数映射函数，可以将2映射到4，3映射到6等。函数的加性意味着如果把两个输入叠加，输出也会相加，例如如果你把a+b乘以10，就等同于把a乘以10和把b乘以10然后相加。
但有些函数并不是完全可加的，例如取数n为10，乘以√2，然后取整，结果约为14点几，取整到14。n为20时则算下来取整到28。此时加性成立，10+10得20，14+14得28。
这种取整方式有时也会存在舍入误差，当把a+b相加时，函数给出的结果并不完全等于两个单独输出的和，而是和加上或减去一。所以此时它几乎是加性的但又不完全加性。
因此我在这上面做了很多工作，大致是如果一个函数表现出类似结构，那么基本上是有原因的，即附近存在一些其他函数。而它自己实际上是完全结构化的。
所以如果你能明确出逆定理，就会创造出二分法，即要么该研究对象完全没有结构，要么它们以某种方式与结构化的东西相关。
但无论是哪一种情况，你都可以取得进展。