【线性代数】线性方程组与矩阵——（3）线性方程组解的结构

上一节：【线性代数】线性方程组与矩阵——（2）矩阵与线性方程组的解
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9. 向量组的线性相关性与线性方程组解的结构

9.1. 向量组及其线性组合

• $n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。
  • 分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。
• $n$ 维向量的全体组成的集合 R n = { x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T ∣ x 1 , x 2 , … , x n ∈ R } \mathbb{R}^n=\{\mathrm{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T|x_1,x_2,\dots,x_n\in \mathbb{R}\} Rn={x=(x1​,x2​,…,xn​)T∣x1​,x2​,…,xn​∈R} 称为 $n$ 维向量空间；$n$ 维向量的集合 { x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T ∣ a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b } \{\mathrm{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T|a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b\} {x=(x1​,x2​,…,xn​)T∣a1​x1​+a2​x2​+⋯+an​xn​=b} 称为 $n$ 维向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $n-1$ 维超平面；若干个同维数的列（行）向量所组成的集合称为向量组，含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
• 给定向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$，对于任意一组实数 $k_1,k_2,\dots ,k_n$，表达式 $k_1{\mathrm{a}}_1+k_2{\mathrm{a}}_2+\cdots +k_n{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 称为向量组 $A$ 的一个线性组合， $k_1,k_2,\dots ,k_n$ 称为这个线性组合的系数；给定向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 和向量 $\mathrm{b}$，如果存在一组数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，使得 $\mathrm{b}={\lambda }_1{\mathrm{a}}_1+{\lambda }_2{\mathrm{a}}_2+\cdots +{\lambda }_n{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$，则称向量 $\mathrm{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表示。
• 向量 $\mathrm{b}$ 能由向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $\mathrm{A}=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}})$ 的秩等于矩阵 $\mathrm{B}=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}},\mathrm{b})$ 的秩。
  • 向量 $\mathrm{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表示，等价于方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 有解。
• 设有2个向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$ 和 $B:{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$，如果$B$ 中的每一个向量都能由 $A$ 中的向量线性表示，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示；若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表示，则称这2个向量组等价。
• 若矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 行等价，则 $\mathrm{A}$ 的行向量组与 $\mathrm{B}$ 的行向量组等价；若矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 列等价，则 $\mathrm{A}$ 的列向量组与 $\mathrm{B}$ 的列向量组等价。
• 对线性方程组 $A$ 的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为 $A$ 的一个线性组合；若方程组 $B$ 的每一个方程都是 $A$ 的线性组合，则称 $B$ 能由 $A$ 线性表示，这时方程组 $A$ 的解一定是方程组 $B$ 的解；若方程组 $A$ 与 $B$ 能互相线性表示，则称两个方程组可互推，可互推的方程组一定同解。
• 向量组 $B:{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$ 能由向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $\mathrm{A}=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}})$ 的秩等于矩阵 $(\mathrm{A},\mathrm{B})=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}},{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}})$ 的秩，即 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{B})$。
  • 向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$ 与向量组 $B:{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$ 等价的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{B})=R(\mathrm{B})$。
  • $$\begin{gathered} 向量组B:{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}能由向量组A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}线性表示 \\ \iff 方程\mathrm{AX}=\mathrm{B}有解 \\ \iff R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{B})\ge R(\mathrm{B}) \end{gathered}$$

9.2. 向量组的线性相关性

• 给定向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$，如果存在不全为0的数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$，使得 $k_1{\mathrm{a}}_1+k_2{\mathrm{a}}_2+\cdots +k_m{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}=0$，则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关。
• 向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{m}\ge 2)$ 线性相关，等价于在向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表示。
• 当线性方程组中某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组的各个方程是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组的各个方程线性无关。
• 向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $\mathrm{A}=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}})$ 的秩小于向量个数 $m$；向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})=m$
  • 向量组 $A$ 线性相关，方程 $\mathrm{Ax}=0$ 有非零解
  • 向量组 $A$ 线性无关，方程 $\mathrm{Ax}=0$ 仅有零解
• 若向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$ 线性相关，则向量组 $B:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}},{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}+1}$ 也线性相关；反之，若 $B$ 线性无关，则 $A$ 也线性无关。
• $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维数 $n$ 小于 $m$ 时，向量组线性相关，特别地 $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。
  • $R({\mathrm{A}}_{\mathrm{n}\times \mathrm{m}})\le n<m$，向量组线性相关
• 设向量组 $A:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}$ 线性无关，而向量组 $B:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}},\mathrm{b}$ 线性相关，则向量 $\mathrm{b}$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表达式惟一。
  • $m=R(\mathrm{A})\le R(\mathrm{B})<m+1,R(\mathrm{A})=R(\mathrm{B})=m$
  • 方程 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 有惟一解

9.3. 向量组的秩

• 设有向量组 $A$，如果能在 $A$ 中选出 $r$ 个向量 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$，满足以下条件，则称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组），最大无关组所含向量的个数 $r$ 称为向量组 $A$ 的秩，记作 $R_A$。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。
  • 向量组 $A_0:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 线性无关
  • 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有的话）都线性相关
• 向量组与其最大无关组等价，能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组。
• 设向量组 $A_0:{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 是向量组 $A$ 的一个部分组，且满足以下条件，那么向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个最大无关组。
  • 向量组 $A_0$ 线性无关
  • 向量组 $A$ 中任意一向量都能由向量组 $A_0$ 线性表示
• 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
  • 最高 $r$ 阶非零子式对应的列构成 $n\times r$ 矩阵的秩为 $r$，这 $r$ 列线性无关
  • 任意 $r+1$ 阶子式为0，其对应的列构成 $n\times (r+1)$ 矩阵的秩小于 $r+1$，这 $r+1$ 列线性相关
  • 矩阵行向量组的秩等于其转置的列向量组的秩
• 矩阵如果行向量组等价，则对应的齐次方程组同解，对应的线性组合的系数相同。
• 向量组 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 能由向量组 $a_1,a_2,\dots ,a_m$ 线性表示的充分必要条件是 $R({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}})=R({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}},{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}})$。
  • 向量组 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 能由向量组 $a_1,a_2,\dots ,a_m$ 线性表示等价于 $\mathrm{Ax}=\mathrm{B}$ 有解
• 若向量组 $B$ 能由 $A$ 线性表示，则 $R_B\le R_A$
  • 等价于 $\mathrm{Ax}=\mathrm{B}$ 有解
  • $R_B\le R(\mathrm{A},\mathrm{B})=R_A$

9.4. 线性方程组解的结构

• 若 $\mathrm{x}={\xi }_1,\mathrm{x}={\xi }_2$ 为向量方程 $\mathrm{Ax}=0$ 的解，则 $\mathrm{x}={\xi }_1+{\xi }_2$ 也是该向量方程的解
• 若 $\mathrm{x}={\xi }_1$ 为向量方程 $\mathrm{Ax}=0$ 的解，$k$ 为实数，则 $\mathrm{x}=\mathrm{k}{\xi }_1$ 也是该向量方程的解
• 设向量方程 $\mathrm{Ax}=0$ 的解集为 $S$，如果能求得 $S$ 的一个最大无关组 $S_0:{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{\mathrm{s}}$，那么方程的解可以表达为 $\mathrm{x}=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_s{\xi }_{\mathrm{s}}(k_1,k_2,\dots ,k_s\in \mathbb{R})$，该解称为该齐次方程组的通解，最大无关组称为该齐次方程组的基础解系。
• 设矩阵 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}$ 的秩为 $r$，则 $n$ 元齐次线性方程组 $\mathrm{Ax}=0$ 的解集 $S$ 的秩为 $n-r$。
  • 若 $r=n$，仅有零解，没有基础解系
  • 若 $r<n$，则 $A$ 化为的行最简形矩阵有 $n-r$ 个零行，对应 $n-r$ 个自由变量，其余 $r$ 个变量都能由自由变量线性表示，由此获得的 $n-r$ 个解向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}$ 组成的矩阵的秩为 $n-r$，因此这 $n-r$ 个解向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}$ 线性无关，可以作为方程组的基础解系。
• 设 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}\times \mathrm{s}}=\mathrm{O}$，$R(\mathrm{A})+R(\mathrm{B})\le n$
  • $\mathrm{B}$ 按列分块，$\mathrm{B}=({\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{s}})$
  • 矩阵方程等价为 $\mathrm{A}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}=0(i=1,2,\dots ,s)$，这表明 $\mathrm{B}$ 的所有列向量都是齐次方程 $\mathrm{Ax}=0$ 的解
  • $R(\mathrm{A})+R_S=n,R(\mathrm{B})\le R_S$
• 设齐次线性方程组 $\mathrm{Ax}=0$ 与 $\mathrm{Bx}=0$ 同解，则 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{B})$
  • $R(\mathrm{A})=n-R_S=R(\mathrm{B})$
• $R({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A})=R(\mathrm{A})$
  • 只需证明 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}=0$ 与 $\mathrm{Ax}=0$ 同解
  • 若 $\mathrm{x}$ 满足 $\mathrm{Ax}=0$，则 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}=0$
  • 若 $\mathrm{x}$ 满足 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}=0$，则 ${\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}=(\mathrm{Ax}{)}^{\mathrm{T}}(\mathrm{Ax})=0$，即 $\mathrm{Ax}=0$
• 设 $\mathrm{x}={\eta }_1$ 及 $\mathrm{x}={\eta }_2$ 是向量方程 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的解，那么 $\mathrm{x}={\eta }_1-{\eta }_2$ 为对应齐次线性方程组 $\mathrm{Ax}=0$ 的解
• 设 $\mathrm{x}=\eta$ 是向量方程 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的解，$\mathrm{x}=\xi$ 是向量方程 $\mathrm{Ax}=0$ 的解，那么 $\mathrm{x}=\xi +\eta$ 仍是 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的解
• 由此如果求得方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的一个特解 ${\eta }^{\ast }$，那么该方程组的同解为 $\mathrm{x}={\mathrm{k}}_1{\xi }_1+{\mathrm{k}}_2{\xi }_2+\cdots +{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}{\xi }_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}+{\eta }^{\ast }(k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}\in \mathbb{R})$，其中 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}$ 是 $\mathrm{Ax}=0$ 的基础解系。
  • 设 ${\mathrm{x}}^0$ 为 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的任一解，则 $\mathrm{x}={\mathrm{x}}^0-{\eta }^{\ast }$ 为 $\mathrm{Ax}=0$ 的解，因此 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的基础解系的线性表示为 ${\mathrm{x}}^0=\mathrm{x}+{\eta }^{\ast }$
  • 非齐次线性方程组的同解 = 对应齐次方程的同解 + 非齐次方程组的一个特解
  • 求特解可以将自由变量置为0

10. 线性空间与线性变换

• 设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果 $V$ 非空，且 $V$ 对于向量的加法和数乘封闭，即集合 $V$ 中任意两个向量进行向量加法及数乘运算后依然归属集合 $V$，那么称集合 $V$ 为向量空间。

• 齐次线性方程组的解集 S = { x ∣ A x = 0 } S=\{\mathrm{x}|\mathrm{Ax=0}\} S={x∣Ax=0} 是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间；非齐次线性方程组的解集 S = { x ∣ A x = b } S=\{\mathrm{x}|\mathrm{Ax=b}\} S={x∣Ax=b} 不是向量空间。

• 由向量组 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 所生成的向量空间为 L = { x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ n a n ∣ λ 1 , λ 2 , … , λ n ∈ R } L=\{\mathrm{x}=\lambda_1\mathrm{a_1}+\lambda_2\mathrm{a_2}+\dots+\lambda_n\mathrm{a_n}|\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\in \mathbb{R}\} L={x=λ1​a1​+λ2​a2​+⋯+λn​an​∣λ1​,λ2​,…,λn​∈R}。向量组等价，对应的向量空间相同。

• 设有向量空间 $V_1$ 及 $V_2$，若 $V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间。

• 设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}\in V$，且满足以下条件，那么向量组 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 是 $V$ 的一个基，$r$ 称为向量组 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 的维数，并称 $V$ 为$r$ 维向量空间，记作 $V_r$。如果 $V$ 没有基，那么 $V$ 的维数为0，0维向量空间仅含一个零向量。

  • ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 线性无关
  • $V$ 中任一向量都可由 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 线性表示

• 若向量组 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则 V = { x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ r a r ∣ λ 1 , λ 2 , … , λ r ∈ R } V=\{\mathrm{x}=\lambda_1\mathrm{a_1}+\lambda_2\mathrm{a_2}+\dots+\lambda_r\mathrm{a_r}|\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_r\in \mathbb{R}\} V={x=λ1​a1​+λ2​a2​+⋯+λr​ar​∣λ1​,λ2​,…,λr​∈R}，即 $V$ 是基生成的向量空间，这就可以清楚地显示向量空间 $V$ 的构造。

• 如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$，那么 $V$ 中任一向量 $\mathrm{x}$ 可惟一地表示为 $\mathrm{x}={\lambda }_1{\mathrm{a}}_1+{\lambda }_2{\mathrm{a}}_2+\cdots +{\lambda }_r{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$，数组 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_r$ 称为向量 $\mathrm{x}$ 在基 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 中的坐标。特别地，在 $n$ 维向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 取单位坐标向量组 ${\mathrm{e}}_1,{\mathrm{e}}_2,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}}$ 为基（称为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的自然基），则以 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 为分量的向量 $\mathrm{x}$ 可表示为 $\mathrm{x}=x_1{\mathrm{e}}_1+x_2{\mathrm{e}}_2+\cdots +x_n{\mathrm{e}}_{\mathrm{n}}$，可见向量在自然基中的坐标为该向量的分量。

• 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中取定一个基 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$，再取一个新基 ${\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$，则用基 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 表示基 ${\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$ 的表示式（基变换公式）为 $({\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}})=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}){\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{B}$，$\mathrm{P}={\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{B}$ 称为从旧基到新基的过渡矩阵，向量从旧基到新基的坐标之间的关系式（坐标变换公式）为 ${\mathrm{y}}^{\mathrm{T}}={\mathrm{P}}^{-1}{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}$

  • $({\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}})=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}){\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{B}$
  • $({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}){\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}=({\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}){\mathrm{y}}^{\mathrm{T}}$

• 将向量空间的定义向更加一般性推广，得到以下定义：设 $V$ 是一个非空集合，$\mathbb{R}$ 为实数域，如果在 $V$ 中定义了加法，即对于任意两个元素 $\alpha ,\beta \in V$，总有惟一的一个元素$\gamma \in V$ 与之对应，记作 $\gamma =\alpha +\beta$；在 $V$ 中定义了数乘，即对 $\lambda \in \mathbb{R}$ 与任一元素 $\alpha \in V$，总有惟一的一个元素 $\delta \in V$ 与之对应，记作 $\delta =\lambda \alpha$，并且这两种运算满足以下八条运算规律（设 $\alpha ,\beta ,\gamma \in V,\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$），那么 $V$ 就称为实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间（或线性空间），$V$ 中元素统称实向量。

  • $\alpha +\beta =\beta +\alpha$
  • $(\alpha +\beta )+\gamma =\beta +(\alpha +\gamma )$
  • 在 $V$ 中存在零元素 $0$，对任何 $\alpha \in V$，都有 $\alpha +0=\alpha$
  • 对任何 $\alpha \in V$，都有 $\alpha$ 的负元素 $\beta \in V$，使 $\alpha +\beta =0$
  • $1\alpha =\alpha$
  • $\lambda (\mu \alpha )=(\lambda \mu )\alpha$
  • $(\lambda +\mu )\alpha =\lambda \alpha +\mu \alpha$
  • $\lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta$

• 凡是满足上述八条规律的加法及数乘运算，就称为线性运算；凡是定义了线性运算的集合，就称向量空间，其中的元素就称为向量。由此向量不一定是有序数组，向量空间中的运算不一定是有序数组的加法及数乘运算，比如可以是数。一般来说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的向量空间；若定义的不是线性运算，就不能构成线性空间。

• 线性空间的性质

  • 零向量是惟一的
  • 任一向量的负向量是惟一的
  • $0\alpha =0,(-1)\alpha =-\alpha ,\lambda 0=0$
  • 如果 $\lambda \alpha =0$，则 $\lambda =0$ 或 $\alpha =0$

• 对子空间的定义稍加修正：设 $V$ 是一个线性空间，$L$ 是 $V$ 的一个非空子集，如果 $L$ 对于 $V$ 中定义的加法和数乘运算也构成一个线性空间，则称 $L$ 是 $V$ 的子空间。

• 线性空间 $V$ 的非空子集 $L$ 构成子空间的充分必要条件是：$L$ 对于 $V$ 中的线性运算封闭。

• 线性空间的维数可以是无穷的。

• 一般地，设 $V$ 与 $U$ 是两个线性空间，如果它们的向量之间有一一对应关系，并且这个对应关系保持线性组合的对应，那么称线性空间 $U$ 与 $V$ 同构。显然任何 $n$ 维线性空间都与 ${\mathbb{R}}^n$ 同构，从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。同构仅限于向量对应与线性运算的对应，${\mathbb{R}}^n$ 超出线性运算的性质和概念，比如内积就不一定在线性空间 $V_n$ 有意义。

• 设有两个非空集合 $A,B$，如果对于 $A$ 中任一元素 $\alpha$，按照一定的规则，总有 $B$ 中确定的元素 $\beta$ 与之对应，那么这个对应规则称为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射，记作 $\beta =T(\alpha )$，$\beta$ 称为 $\alpha$ 在映射 $T$ 下的像，$\alpha$ 称为 $\beta$ 在映射 $T$ 下的原像，$A$ 称为映射 $T$ 的定义域，像的全体构成的集合称为像集，记作 T ( A ) = { β = T ( α ) ∣ α ∈ A } ⊆ B T(A)=\{\beta=T(\alpha)|\alpha\in A\}\subseteq B T(A)={β=T(α)∣α∈A}⊆B

• 设 $V_n,U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，$T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果映射 $T$ 满足以下条件，那么称 $T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 线性映射或线性变换。

  • 任给 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in {\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}$（从而 ${\alpha }_1+{\alpha }_2\in {\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}$），有 $\mathrm{T}({\alpha }_1+{\alpha }_2)=\mathrm{T}({\alpha }_1)+\mathrm{T}({\alpha }_2)$
  • 任给 $\alpha \in {\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}$ 和 $\lambda \in \mathbb{R}$（从而 $\lambda \alpha \in V_n$），有 $\mathrm{T}(\lambda \alpha )=\lambda \mathrm{T}(\alpha )$

• 特别地，如果 $U_m=V_n$，那么 $T$ 是一个从线性空间 $V_n$ 到其自身的线性映射，称为线性空间 $V_n$ 中的线性变换。

• 线性变换的基本性质

  • $\mathrm{T}(0)=0,\mathrm{T}(-\alpha )=-\mathrm{T}(\alpha )$
  • 若 $\beta ={\mathrm{k}}_1{\alpha }_1+{\mathrm{k}}_2{\alpha }_2+\cdots +{\mathrm{k}}_{\mathrm{r}}{\alpha }_{\mathrm{r}}$，则 $\mathrm{T}(\beta )={\mathrm{k}}_1\mathrm{T}({\alpha }_1)+{\mathrm{k}}_2\mathrm{T}({\alpha }_2)+\cdots +{\mathrm{k}}_{\mathrm{r}}\mathrm{T}({\alpha }_{\mathrm{r}})$
  • 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{r}}$ 线性相关，则 $\mathrm{T}({\alpha }_1),\mathrm{T}({\alpha }_2),\dots ,\mathrm{T}({\alpha }_{\mathrm{r}})$ 线性相关；但是${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{r}}$ 线性无关时，$\mathrm{T}({\alpha }_1),\mathrm{T}({\alpha }_2),\dots ,\mathrm{T}({\alpha }_{\mathrm{r}})$ 不一定线性无关。
  • 线性变换 $T$ 的像集 $T(V_n)$ 是一个线性空间，称为线性变换 $T$ 的像空间。
  • 使 $T(\alpha )=0$ 的 $\alpha$ 的全体 N T = { α ∣ α ∈ V n , T α = 0 } N_T=\{\mathrm{\alpha}|\mathrm{\alpha}\in V_n,T\mathrm{\alpha=0}\} NT​={α∣α∈Vn​,Tα=0} 也是一个线性空间，称为线性变换 $T$ 的核。若 $T(\mathrm{x})=\mathrm{Ax}(\mathrm{x}\in {\mathbb{R}}^n)$，则 N T = { x ∣ A x = 0 } N_T=\{\mathrm{x}|\mathrm{Ax=0}\} NT​={x∣Ax=0}，即 $T$ 的核 $N_T$ 是齐次线性方程组 $\mathrm{Ax}=0$ 的解空间。

• ${\mathbb{R}}^n$ 中任何线性变换 $T$ 都能用关系式 $\mathrm{T}(\mathrm{x})=\mathrm{Ax}$ 表示，其中 $\mathrm{A}=(T(e_1),T(e_2),\dots ,T(e_n))$。

  • $T(\mathrm{x})=T[({\mathrm{e}}_1,{\mathrm{e}}_2,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{n}})\mathrm{x}]=T(x_1{\mathrm{e}}_1+x_2{\mathrm{e}}_2+\cdots +x_n{\mathrm{e}}_{\mathrm{n}})=x_{1}T({\mathrm{e}}_1)+x_{2}T({\mathrm{e}}_2)+\cdots +x_{n}T({\mathrm{e}}_{\mathrm{n}})=(\mathrm{T}({\mathrm{e}}_1),\mathrm{T}({\mathrm{e}}_2),\dots ,\mathrm{T}({\mathrm{e}}_{\mathrm{n}}))\mathrm{x}$

• 设 $T$ 是线性空间 $V_n$ 中的线性变换，在 $V_n$ 中取定一个基 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$，如果这个基在变换 $T$ 下的像用这个基线性表示为
  $$\{\begin{array}{l}\mathrm{T}({\alpha }_1)={\mathrm{a}}_{11}{\alpha }_1+{\mathrm{a}}_{21}{\alpha }_2+\cdots +{\mathrm{a}}_{n1}{\alpha }_{\mathrm{n}}\\ \mathrm{T}({\alpha }_2)={\mathrm{a}}_{12}{\alpha }_1+{\mathrm{a}}_{22}{\alpha }_2+\cdots +{\mathrm{a}}_{n2}{\alpha }_{\mathrm{n}}\\ \dots \\ \mathrm{T}({\alpha }_{\mathrm{n}})={\mathrm{a}}_{1n}{\alpha }_1+{\mathrm{a}}_{2n}{\alpha }_2+\cdots +{\mathrm{a}}_{\mathrm{nn}}{\alpha }_{\mathrm{n}}\end{array}$$
  记 $T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})=(T({\alpha }_1),T({\alpha }_2),\dots ,T({\alpha }_{\mathrm{n}}))$，则 $T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})\mathrm{A}$，其中 $\mathrm{A}=(a_{ij}{)}_n$，那么 $\mathrm{A}$ 称为线性变换 $T$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}}$ 下的矩阵。显然矩阵 $\mathrm{A}$ 由基的像惟一确定。

• 以 $\mathrm{A}$ 为矩阵的线性变换 $T$ 由关系式 $T[({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}}){\mathrm{x}}^T]=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})\mathrm{A}{\mathrm{x}}^T$ 惟一确定。$\alpha$ 与 $T(\alpha )$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}}$ 下的坐标分别为 ${\mathrm{x}}^T$ 和 ${\mathrm{Ax}}^T$，因此按坐标表示，有 $\mathrm{T}(\alpha )=\mathrm{A}\alpha$。

• 设线性空间 $V_n$ 中取定两个基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}}$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}}$，由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}}$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}}$ 的过渡矩阵为 $\mathrm{P}$，$V_n$ 中的线性变换 $T$ 在这两个基下的矩阵依次为 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$，则 $\mathrm{B}={\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}$。

  • $({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}})=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})\mathrm{P}$
  • $T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})\mathrm{A}$
  • $T({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}})=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}})\mathrm{B}$
  • $\mathrm{T}({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}})=\mathrm{T}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{n}})\mathrm{P}=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{\mathrm{n}}){\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{A}\mathrm{P}$

• 线性变换 $T$ 的像空间 $T(V_n)$ 的维数称为线性变换 $T$ 的秩。显然若 $\mathrm{A}$ 是 $T$ 的矩阵，则 $T(V_n)$ 的秩就是 $R(\mathrm{A})$。若 $T$ 的秩为 $r$，则 $T$ 的核 $N_T$ 的维数是 $n-r$。

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