第四章线性方程组-EW帮帮网

专题一解的性质与判定

1.齐次线性方程组的定义

含有 $n$ 个未知数的方程组

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}$

称为 $n$ 元 齐次线性 方程组，记作 $Ax = 0$ ，其中

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

A为系数矩阵，x为n维解向量

2.非齐次线性方程组的定义

非齐次线性方程组的定义含有 $n$ 个未知数的方程组

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

称为 $n$ 元非齐次线性方程组，

其中 $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 不全为零，记作 $Ax = b$ ，其中

称 $A$ 为系数矩阵， $(A \mid b)$ 为增广矩阵，记作 $\overline{A}$ 。

3.解的定义

若 $x_1 = c_1, x_2 = c_2, \cdots, x_n = c_n$ 满足线性方程组，则称 $x = (c_1, c_2, \cdots, c_n)^T$ 为方程组的解向量

4.主变量与自由变量的定义

对系数矩阵 $A$ 作初等行变换，

所得行阶梯形矩阵中每行第一个非零元素对应的未知数称为主变量，

其余未知数称为自由变量.

例如：

$A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0 &1 &2 &3 \\ 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$

其中第二行 $x_2+2x_3+3x_4=0$

$x_2$ 为主变量（因变量）， $x_3,x_4$ 为自由变量（自变量），化简得 $x_2=-2x_3-3x_4$

5.解的性质

（1）若 ${\xi_1,\xi_2}$ 为 ${Ax = 0}$ 的解，则 ${k_1\xi_1 + k_2\xi_2}$ 为 ${Ax = 0}$ 的解；

${\xi_1,\xi_2}$ 为基础解系齐次的解线性组合也是齐次的解

证明： $A(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=k_1A\xi_1+k_2A\xi_2=0$

（2）若 ${\eta_1,\eta_2}$ 为 ${Ax = b}$ 的解，则 ${\eta_1 - \eta_2}$ 为 ${Ax = 0}$ 的解；

非齐次的解的差是齐次的解

证明： $A(\eta _1-\eta_2)=A\eta _1-A\eta_2=b-b=0$

（3）若 ${\xi}$ 为 ${Ax = 0}$ 的解， ${\eta}$ 为 ${Ax = b}$ 的解，则 ${\xi + \eta}$ 为 ${Ax = b}$ 的解.

非齐次的解加齐次的解等于非齐次的解

证明： $A(\xi-\eta)=A\xi-A\eta=b$

6.解的性质的推广

（1）若 ${\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s}$ 为 ${Ax = b}$ 的解，则 ${k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_s\eta_s}$ 满足：

因为等于0可以把非齐次项抵消，等于1可以保留非齐次项

$Ax = 0$ 的解 $\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i = 1}^s k_i = 0$

${Ax = b}$ 的解 $\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i = 1}^s k_i = 1$

例如： $\eta_1,\eta_2$ 为 $Ax+b$ 的解，则

$\frac{\eta_1-\eta_2}{2}$ 为 $Ax = 0$ 的解， $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}$ 为 ${Ax = b}$ 的解。

（2）若 ${\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s}$ 为 $Ax = b$ 线性无关的解，则 ${\eta_2 - \eta_1,\eta_3 - \eta_1,\cdots,\eta_s - \eta_1}$ 为 ${Ax = 0}$ 的 $s-1$ 个线性无关的解.

非齐次的线性无关组合成齐次的线性无关

证明：设存在 ${k_2,\cdots,k_s}$ ，使 ${k_2(\eta_2 - \eta_1)+\cdots+k_s(\eta_s - \eta_1)}=0$ ，

t提出 $\eta_1$ ，即 $(-k_2\cdots-k_s)\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_s\eta_s =0$ ，

由 ${\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s}$ 线性无关，得

$k_2=\cdots=k_s=0$ ，由 ${k_2(\eta_2 - \eta_1)+\cdots+k_s(\eta_s - \eta_1)}=0$ ，故

${\eta_2 - \eta_1,\eta_3 - \eta_1,\cdots,\eta_s - \eta_1}$ 线性无关

类似的：非齐次的s个线性无关的解，减 $\eta_i$ ,减前一项，减后一项，都是齐次的s-1个线性无关的解

$\left\{\begin{matrix} \eta _1-\eta _i & \eta _2-\eta _i & \cdots & \eta _s-\eta _i \\ \eta _2-\eta _1 & \eta _3-\eta _2 & \cdots & \eta _s-\eta _{s-1} \\ \eta _1-\eta _2 & \eta _2-\eta _3 & \cdots & \eta _{s-1}-\eta _s \end{matrix}\right.$

7.齐次线性方程组解的判定

（1） $Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow r(A) = n$

n是A的列数，x数

例如： $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & a &a \\ a & a& a\\ a & a&a \end{pmatrix}$ ， $x_1,x_2,x_3=0$ ，只有解等于0才能满足右边等于0

（2） $Ax = 0$ 有非零解（无穷多解） $\Leftrightarrow r(A) < n$

例如： $A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 & 3\\ 0& 1 &2\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix},r<n,r_{(A)}=2,x_2+2x_3=0$

$0x_1+0x_2+0x_3=0$

（约束少，未知数的取值有更多可能性）m个未知数满足了，n-m行全是0即可了

推论 $Ax = 0$ 有非零解的充分条件为m < n

$m<n\rightarrow Ax=0$

证明： $r(A)\leqslant m< n$

行数小于列数，即方程个数小于未知数个数，

因为秩要小于行列最小的

8.非齐次线性方程组解的判定

（1） ${Ax = b}$ 无解 $\Leftrightarrow r(A) < r(\overline{A}) \Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A}) - 1$ ,这里的1由b这一列产生

例如： $\overline{A}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 & 3 &\mid & 1\\ 0& 1& 2 & \mid &2 \\ 0 & 0 & 0& \mid&3 \end{pmatrix},r(A)=2<r(\overline{A})=3$ ，所以无解。

$\overline{A}\rightarrow (\alpha _1,\cdots,\alpha _n\mid b)$

系数矩阵中不一定只有一行为0, $0+0+0\neq 3$ ，找不到x。

秩仅因为b加了一列

（2） ${Ax = b}$ 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A}) = n$

例如： $\overline{A}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 & 3 &\mid & 1\\ 0& 1& 2 & \mid &2 \\ 0 & 0 & 0& \mid&0 \end{pmatrix},r(A)=r(\overline{A})=2<3,x_2+2x_3=2$

当两者秩相等时，常数项 b 才能被未知数的线性组合表示，方程组才有解。

m个方程，n个未知数， --> m个方程变成n行，其他行变为0 --> 增广，秩=小的

（3） ${Ax = b}$ 有无穷多解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A}) < n$

$r(A)$ 宽松度， $0x_1+0x_2+0x_3=b$

有解的情况和非齐次有类似之处。

推论

（1） ${Ax = b}$ 有解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A})$ ；

（2） ${Ax = b}$ 有解的充分条件为 $r(A) = m$ 。（行满秩）

证明：由 $m=r(A)\leqslant r(\overline{A})\leqslant m$ ，得 $r(A)= r(\overline{A})= m$ ，故有解。

【评注】

（1）若 ${Ax = b}$ 有唯一解，则 $Ax = 0$ 只有零解；证明：r(A)=n
若 ${Ax = b}$ 有无穷多解，则 $Ax = 0$ 有非零解；证明：r(A)<n

（2）若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则线性方程组解的判定或求解可以利用 Cramer 法则。

专题二齐次线性方程组

1.基础解系的定义

设 $A$ 为 $m\times n$ 阶矩阵， $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ 为线性方程组 $Ax = 0$ 的解。

若 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ 线性无关，

且 $Ax = 0$ 的任意解均可由 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ 线性表示，

则称 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ 为 $Ax = 0$ 的基础解系。

A为m×n阶矩阵相当于m个方程，n个未知数（为基础解系），若n大于m，则未知数个数多于方程个数，方程更好解（未知数可选择的值多）。

基础解系即 $Ax = 0$ 解的极大线性无关组，

基础解系不唯一，但基础解系中解的个数 $n - r(A)$ 唯一，

即（未知数个数 - 主变量个数 = 自由变量个数）

或（所有未知数个数n - m个未知数个数（极大线性无关组） = 剩余未知数个数）

任意 $n - r(A)$ 个线性无关的解均为基础解系。

2.基础解系的求法

（1）A为数字阵：

对A作初等行变换，化为行最简形矩阵，

自由变量分别取 $1,0,0,\cdots$ 、 $0,1,0,\cdots$ 、 $0,0,1,\cdots$ ，解得主变量，得到基础解系.

例如：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$