去卷积：用魔法打败魔法，让图像清晰

图像的模糊有很多种可能性，包括了：镜头的缺陷、相机的抖动、场景的运动、后期的处理等等。针对图像模糊，我们可以通过去卷积的方式实现图像复原。其中，去卷积分为非盲去卷积和盲去卷积，本文主要介绍非盲去卷积。

问题描述

假设有一个理想镜头，用它所成的像为x， 而实际镜头的点扩散函数（PSF）为c， 实际镜头的成像是b，那么这三者之间的关系是一种典型的卷积关系：

那么一个很自然的想法就是，如果我们有实际镜头的成像，另外还知道了镜头的PSF，即我们知道了上式的b和c，是否可以得到更加理想的成像x呢？

去卷积

这似乎是很显然能够成立的。由于空域的卷积等效于频域的乘法，因此我们只需要在频域上做除法，就能很好的恢复出$X$了，我们把这个过程称为去卷积：

$$X\ast c=b$$

注意：空域的卷积相当于频域的乘法

$$F(X)\cdot F(c)=F(b)$$

去卷积相当于在频域上做除法

$$F(X_{\text{est}})=F(b)\setminus F(c)$$

只需要对除法的结果做反傅里叶变换就可以得到去卷积的结果了

$$X_{\text{est}}=F^{-1}(F(b)\setminus F(c))$$

实际成像系统有噪声，所以实际的成像公式是（其中n是指噪声）
$$X\ast c+n=b$$

也就是说b里面含有噪声，所以如果简单的用F(b)/F©, 就会放大系统中高频部分的的噪声，最后只会得到一幅全是噪声的图像。

维纳滤波

那么，有没有更好的方法呢？事实上，已知模糊的图像以及成像系统的PSF，恢复原始图像的过程称为非盲去卷积（Non-blind deconvolution）。这个领域有大量的研究成果。

其中最最经典的方法之一，莫过于1942年发表的维纳滤波（Wiener Filter），它把图像和噪声都看做是随机过程，并把去卷积的问题看作是一个最大似然问题去求解。最后的结果中，包含了一个关键的噪声相关的阻尼因子。

$$X_{\text{est}}=F^{-1}\left(\frac{|F(c){|}^2}{|F(c){|}^2+K}\cdot \frac{F(b)}{F(c)}\right)$$

其中分母有一项是K，它是一个规定常数：
$$K=1/SNR(\omega )$$

因此，维纳滤波可以看成是修正后的去卷积，当噪声很低时，噪声相关的阻尼因子趋于1。
$$X_{\text{est}}=F^{-1}\left(\text{噪声相关的阻尼因子}\cdot \frac{F(b)}{F(c)}\right)$$

维纳滤波的核心思想是寻找一个频域滤波器 $H(\omega )$，使得估计值 $\hat{X}=H(\omega )B$ 与真实值 $X$ 之间的均方误差最小，因此维纳滤波也叫最小均方误差滤波。

$$\underset{H}{\min }E\left[\Vert X-H(\omega )B{\Vert }^2\right]$$

使用维纳滤波去模糊

维纳滤波器在频域的表达式为：
$$H(u,v)=\frac{P^{\ast }(u,v)}{|P(u,v){|}^2+K}$$
其中：

• $P(u,v)$ 是点扩散函数（PSF）的傅里叶变换（光学传递函数，OTF）。

在频域内进行维纳滤波时，根据以上维纳滤波器公式，由点扩散函数计算得到维纳滤波器，再将滤波器乘以图像以达到去模糊的目的，最后将结果反变换到空域即可。

💡 NOTE：$K=0$ 时退化为逆滤波；$K$ 增大时抑制噪声但会平滑细节。

MATLAB实现

clc;
clear;
close all;

%% 给图像加模糊
img = imread('cameraman.tif');
% img = rgb2gray(img); 
img = im2double(img);
% img = imnoise(img, 'gaussian', 0, 0.1);% 添加噪声

psf = fspecial("gaussian", 7, 1);
blurred = imfilter(img, psf, 'circular');

%% 只有模糊，直接逆滤波
fft_img = fft2(blurred); % 傅里叶变换
fft_psf = fft2(psf, size(img, 1), size(img, 2));
deblurred = ifft2(fft_img./fft_psf);

figure;
subplot(1, 3, 1), imshow(img), title("原图");
subplot(1, 3, 2), imshow(blurred), title("模糊，未叠加噪声");
subplot(1, 3, 3), imshow(deblurred), title("直接逆滤波，对未叠加噪声时效果较好");

%% 添加噪声，维纳滤波、约束最小二乘方滤波
mean = 0; 
var = 0.0001;
noised = imnoise(blurred, 'gaussian', mean, var);% 添加噪声
fft_img = fft2(noised); % 对含噪声图像进行傅里叶变换

% 直接逆滤波
deblurredn=ifft2(fft_img./fft_psf);

% 维纳滤波
K = 0.01; % 噪声与信号功率比的估计值，可根据实际情况调整
WienerFilter = conj(fft_psf)./(abs(fft_psf).^2 + K);
deblurred_wiener = ifft2(fft_img.* WienerFilter);

figure,
subplot(2, 2, 1), imshow(img), title("原图");
subplot(2, 2, 2), imshow(noised), title("模糊，叠加了高斯噪声");
subplot(2, 2, 3), imshow(deblurredn),title("直接逆滤波，对噪声非常敏感")
subplot(2, 2, 4), imshow(deblurred_wiener), title("维纳滤波");

其他非盲去卷积的方法

约束最小二乘方滤波

除了维纳滤波，还有维纳滤波的改进版本——约束最小二乘方滤波。该方法旨在降低维纳滤波器对噪声的敏感度，以平滑测度的最优复原为基础，因此添加拉普拉斯核进行约束。

约束最小二乘方滤波器在频域的表达式为：
$$H(u,v)=\frac{P^{\ast }(u,v)}{|P(u,v){|}^2+K\cdot L(u,v)}$$
其中：

• $L(u,v)$ 是拉普拉斯核的傅里叶变换。

迭代法

Richardson-Lucy (RL) 反卷积算法是一种基于最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的图像去卷积方法，常用于去模糊和图像增强。

该算法通过不断地更新图像估计值，来最小化模糊图像和恢复图像之间的误差，逐步消除模糊，最终接近真实的原始图像。每次迭代都会根据当前估计的图像来修正下次迭代的结果。

该算法最初由 Richardson 和 Lucy 在 1972 年提出，应用于天文学中的 X 射线成像。