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个人专栏：【数据结构（C语言版）学习】
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前言
各位小伙伴大家好！初学数据结构之时，时间复杂度和空间复杂度当属重要基础。
下面，小编对其进行讲解！
1. 算法效率
【概念分类】时间效率和空间效率
时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行次数。
空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。
【总结】衡量一个算法的好坏，就是从时间和空间这两个维度来衡量。
2. 大O的渐进表示法
实际中，我们计算时间复杂度并不需要计算准确的执行次数，只需要计算大概执行次数，正常我们用大O的渐进表示法去计算。
【大O符号】用于描述函数渐进行为的数学符号。
【方法】
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
【算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况】
- 最坏情况：任意输入规模的最多运行次数
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最好情况：任意输入规模的最少运行次数
3. 时间复杂度
3.1 时间复杂度概念
【概念】算法中基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
- 时间复杂度是一个函数。
- 定量描述了该算法的运行时间的次数。
- 算法花费的时间与其中语句的执行次数成正比。
3.2 时间复杂度计算举例
【示例1】
// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i) // 第一段
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) // 第二段
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--) // 第三段
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
【分析】
第一段嵌套for循坏执行次数是就是 N * N
第二段for循坏执行次数是 2 * N
第三段while循环执行次数是10到0
所以F(N) = N² + 2 * N + 10
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)
【示例2】
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
【分析】
k = 0，k要递增到 k = 2 * N，才能结束
m = 10；要执行10次
所以精确执行次数是2N + 10
大O渐进表示法表示时间复杂度为O(N)
【示例3】
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
【分析】
第一个for循环k = 0，k < M，需要执行M次才能结束
第二个for循环k = 0，k < N，需要执行N次才能结束
①M和N不确定谁大情况下，时间复杂度是O(M + N)
②M和N相等，时间复杂度是O(M) 或者 O(N)
③M远大于N，时间复杂度是O(M)
④N远大于M，时间复杂度是O(N)
4. 空间复杂度
4.1 空间复杂度的概念
【概念】对一个算法在运行过程中临时额外占用存储空间大小的量度 。
- 空间复杂度不是程序占用 了多少bytes的空间，空间复杂度计算的是变量的个数。
- 空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
- 空间复杂度主要通过函数运行时显式申请的额外空间来确定。
- 一个程序运行需要额外定义变量个数。
4.2 空间复杂度计算举例
【示例1】
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
【分析】
有三个变量临时分别是exchange，i，end，一共3个额外的空间
i在第二层循环里，这个循环要执行n次
每次输出刚进循环的i，地址都是一样的
所以，空间复杂度是O(1)
【示例2】
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}
【分析】
开辟了一块n+1的个数的数组空间
省略掉一些不影响的项数
i和上面冒泡一样都是同一个空间
所以，空间复杂度是O(N)
【示例3】
// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}
【分析】
递归调用了N次，每次调用都建立了一个栈帧
所以，空间复杂度是O(N)
5. 常见复杂度对比
结语
以上就是小编对算法效率和复杂度的讲解。
如果觉得小编讲的还可以，还请一键三连。互三必回！
持续更新中~！
