概述
上篇文章，我们学习了树、二叉树及二叉树的遍历，本章来学习一种特殊的二叉树，二叉查找树。二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。
之前说过，散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1)。既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方时散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢？
二叉查找树（Binary Search Tree）
二叉查找树的二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？
这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个 节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。下图是二叉查找树的例子。
二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，现在我们就依次来看下，这三个操作是如何实现的。
1.二叉查找树的查找操作
首先，我们看如何在二叉查找树树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
下方是实现查找的代码。
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.left;
if (data > p.data) p = p.right;
return p;
}
return null;
}
public static class Node {
private int data;
private Node left;
private Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
}
2.二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一班都是子啊叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。
如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插入到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入的位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据直接插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入的位置。
下方是代码实现。
public void insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
if (p.right == null) {
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
} else {
if (p.left == null) {
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
3.二叉查找树的删除操作
二叉查找树的查找、插入操作比较易懂，但是它的删除操作就比较复杂了。针对要删除的节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。
第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除结点地指针设置为 null。比如下图中的删除节点 55。
第二种情况是，如果要删除的子节点有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，执行要删除的节点的指针，让它执行要删除的子节点就可以了。比如图中的删除结点 13。
第二种情况是，如果要删除的子节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子节点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。
老规矩，还是把删除的代码贴在这里。
public void delete(int data) {
Node p = tree; // p指向要哦删除的节点，初始化指向根节点
Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) p = p.right;
else p = p.left;
}
if (p == null) return; // 没有找到
// 要删除的结点有两个子节点
if (p.left != null && p.right != null) {
Node minP = p.right;
Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
while (minP.left != null) {
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
p = minP; // 从这开始，变成删除minP节点
pp = minPP;
}
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
Node child;// p的子节点
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (pp == null) tree = child; //删除的是根节点
else if (pp.left == p) pp.left = child;
else pp.right = child;
}
实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的办法，就是单纯将要删除的节点标记为 “已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的结点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。
4.二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作外，二叉查找树中还可以支持快速查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。这些操作就不一一展示了。
二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，也可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫做二叉排序树。
支持重复数据的二叉查找树
前面讲二叉查找树的时候，默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际开发中，我们在二叉查找树中存储的是，包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键值（Key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫做卫星数据。
前面讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？这里有两种解决办法。
第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此，我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。
每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入的数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，要把这个新插入的数据当做大于这个节点的值来处理。
当要查找数据的时候，遇到相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
对于删除操作，我们也需要查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。
二叉查找树的时间复杂度分析
实际上，二叉查找树的形式各种各样。比如下图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点放的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变了了 O ( n ) O(n) O(n)。
刚刚分析的是最糟糕的情况，现在来分析一下最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或者满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？
从前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除、还是查找，时间复杂度跟树的高度成成比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就变成了，如何求一棵包含 n 个节点额度二叉树的高度？
树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n 个接地那的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下一层节点个数是上一层的 2 倍，第 k 层包含的结点个数就是 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1。
不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 到 2 L − 1 2^{L-1} 2L−1（假设最大层数是 L）。我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：
n > = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 L − 2 + 1 n >= 1 + 2 +4+8+...+2^{L-2} + 1 n>=1+2+4+8+...+2L−2+1
n > = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 L − 2 + 2 L − 1 n >= 1 + 2 +4+8+...+2^{L-2} + 2^{L-1} n>=1+2+4+8+...+2L−2+2L−1
借助等比数列的求和公式，我们可以计算出 L 的范围是 [ l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2(n+1), l o g 2 n + 1 log_2n + 1 log2n+1]。完全二叉树的层数小于等于 l o g 2 n + 1 log_2n + 1 log2n+1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 l o g 2 n log_2n log2n。
显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么插入、删除数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是下篇文章要讲解的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉树查找树。平衡二叉查找树的高度接近 l o g n logn logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。
有了高效的散列表，为什么还需要二叉树？
我们在散列表那节讲过，散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度都可以做到常量级的 O ( 1 ) O(1) O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作的时间复杂度是 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。相对散列表，好像并没有什么优势，为什么还要用二叉查找树呢？
有以下几个原因：
第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序数据，需要先进性排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O ( n ) O(n) O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。
第三，笼统地说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O ( l o g n ) O(logn) O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树查找的效率高。
第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然解决散列冲突要花费一定的时间。
综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存储并不冲突。我们在实际的开发中需要结合具体需求来选择使用哪一个。
小结
本章学习了一种特殊的二叉树，二叉查找树。它支持快速地查找、插入、删除操作。
二叉查找树中，每个节点到的值都大于左子树节点的值，小于右子树节点的值。不过，这只是针对没有重复数据的情况。对于存在重复数据的二叉查找树，有两种构建方法：一种是让每个节点存储多个相同的数据；另一种是，湄公河节点中存储一个数据。针对这种情况，我们只需要稍加改造原来的插入、删除、查找操作即可。
在二叉查找树中，查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端情况的时间复杂度分别是 O ( n ) O(n) O(n) 和 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。
为了避免时间复杂度退化，针对二叉查找树，我们又设计了一种更加复杂的书，平衡二叉查找树，时间复杂度可以做到稳定的 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)，下一章节会具体讲解。