简易深度学习（1）深入分析神经元及多层感知机

一、神经元

单个神经元结构其实可以认为是一个线性回归模型。例如下图中

该神经元输入为三个特征（x₁，x₂，x₃），为了方便理解，大家可以认为每条线上都有一个权重和特征对应（w₁，w₂，w₃）。当w₁x₁+w₂x₂+w₃x₃输入到神经元时，会加入一个偏置b，变为w₁x₁+w₂x₂+w₃x₃+b。我们可以把这个值当作f（x）。然后把f（x）送入激活函数比如sigmoid。最后得到的输出结果g（x） = sigmoid（f（x））。最后的g（x）作为x_n会输入到下一个神经元。

记忆技巧tips：每个神经元，有多少个输入特征就有多少个边，边上就有多少个w，但有且只有一个b。

二、MLP

多个神经元按照一层层连接就组成了多层感知机（MLP）。如果是全连接网络（(Fully Connected Netural Network,FCN），则每个神经元都会和它前层、后层所有神经元相连。

1、结构

（1）图2，是两层全连接神经网络，明明是三层为什么叫两层神经网络？不是输入层（第0层），隐藏层，和输出层三层吗？在书中，只有隐藏层和输出层算层，输入层不算。可能设计输入的第0层的原因是:

可以理解为这一层主要是处理数据，也就是变换X，比如让数据归一化，one-hot编码什么的。

（2）上图是课本标准的多层神经网络，下面是为了理解绘制的不标准的示意图。其中画虚线的部分（第0层和第3层）不算神经网络的层，它只是最初的输入数据和最后的输出数据，是个名词相当于一个变量。我们看第1层（隐藏层）做了什么，它把第0层的输入x1和x2变为了输出（把黄色和绿色的线变为紫色）。第二层输出层把隐藏层的输出变为了整体的输出y（把紫色的线变为蓝色的线）。大家可以看出神经网络的层类似于动词相当于一个函数。下面的图是为了方便大家理解，如果绘制的话，还是要按照标准来。

（3）每一层有n个神经元，为了区分不同神经元上的w，使用带两个数字的w（第一个数字是连接到本层第几个神经元，第二个数字是上层第几个神经元）来标识，比如图4，第1层的神经元中，w11标识本层第一个神经元和上层第一个神经元相连，w32表示本层第三个和上层第二个相连。b的话就是本层第几个神经元就是b几，比如b2表示本层第二个神经元上的偏置。

（4）我们再把视野扩大，刚刚说的是一层，如何标识不同层的w和b呢，比如第1层的w11和第2层的w11如何区别呢？一般我们会使用参数上标来标识是第几层的参数。如下图，比如w¹表示第一层的w们。

tips：其实在日常情况下使用上标标识第几层，使用下标来标识参数关系的，比如w^[1]₁₁ 这是标准写法，而不是w^[1]11

2、分类 or 回归

回归：最后的输出层只有一个神经元，一般预测结果是float值，比如根据x1房子面积，x2房子年龄，预测最后的房屋价格。
分类：几个分类，最后输出层就有几个神经元。比如猫狗二分类，最后输出层是两个神经元，如果最后是十分类，那么最后一层就是十个神经元。

3、前向传播

（1）从神经网络前面把数据从输入到输出的过程为前向传播。比如图2，数据x1，x2输入到隐藏层1，然后计算后输入到输出层，最后输出结果。
类似线性模型，即输入x，使用参数w，b计算wx+b的过程。
（2）平时都是按照一个批次进行矩阵计算的，下面是批量为3时输入到图5第一层神经网络的情况。
输入的数据为（批量*特征个数）形状的矩阵，
隐藏层的参数W为（特征个数*本层神经元个数）形状的矩阵，
b为（1*神经元个数）形状的向量。

4、反向传播

反向传播的是梯度，梯度下降是为了优化每一层的参数。
step1：
神经网络最后的输出结果为y_hat,训练数据中的标签为y，使用损失函数计算两者的误差。此时，第2层的w、b参数可以使用梯度下降直接更新了，因为本层的w，b直接组成了loss函数即 ：   loss（w^[2]₁₁O₁+w^[2]₁₂O₂+w^[2]₁₃O₃+w^[2]₁₄O₄+b^[2]₁-y），比如该值为loss1，loss1对w^[2]₁₁求偏导，然后乘以学习率得出更新的值，w^[2]₁₁减去更新的值即为更新后的w^[2]₁₁。
step2：
把第2层的梯度传到第1层，根据链式法则，第1层的参数可以进行更新。

下面我们举个例子详细说一下反向传播梯度。
下图中x，y，z都可以看作是w参数，f函数看为损失函数。绿色为特征x，y，z现在的值，红色为对应的导数（梯度）。比如求x的梯度，根据链式法则，先f对q求导，然后求q对x的导数，结果为-4*1，1是本地计算的梯度，-4是反向传过来的梯度。