数据结构与算法分析课设：一元多项式求值

   引言

1 设计任务及要求

1.1 问题描述

本题目要求利用C语言或C++编写一个程序，实现一元多项式的加法、减法、乘法和除法运算。程序需要能够处理用户输入的多项式，并输出运算结果。

1.2 设计要求

1、数据结构设计：使用顺序存储结构来构造两个存储多项式a(x)和b(x)的结构。

2、模块化设计：将输入、加、减、乘、除运算分成五个主要的模块：

（1）多项式输入模块

（2）多项式加法模块

（3）多项式减法模块

（4）多项式乘法模块

（5）多项式除法模块

3、错误处理：在各个模块中考虑多种情况，通过函数的嵌套调用来实现其功能，尽量减少程序运行时错误的出现。

4、主函数编写：编写main()主函数以实现对多项式输入输出以及加、减、乘、除，调试程序并将不足的地方加以修改。

2 进度安排

3 设计与分析说明

3.1 设计依据

本项目的设计主要基于以下几个方面的需求和理论基础：

3.1.1 教育需求

数据结构与算法分析是计算机科学及其相关专业的重要基础课程之一。通过实现一元多项式的加法、减法、乘法和除法运算，可以帮助学生深入理解并实践顺序存储结构的应用，以及模块化程序设计的思想。

3.1.2 实际应用需求

在一元多项式计算的场景下，如数学建模、工程计算、科学研究等领域，经常需要对多项式进行各种运算处理。一个高效、可靠的多项式运算程序能够为这些领域提供必要的支持。

3.1.3 技术可行性

使用C语言或C++编程语言进行开发，因其具有强大的指针操作能力和对内存管理的支持，非常适合用于实现复杂的数据结构和算法逻辑。此外，C/C++语言广泛应用于系统级编程和高性能计算领域，因此选择这两种语言作为开发工具是非常合适的。

3.1.4 功能要求

根据课题要求，需实现包括多项式输入、加法、减法、乘法和除法在内的多个功能模块。这要求设计方案不仅要满足基本的功能性需求，还要考虑错误处理、用户体验等方面的问题，确保程序的健壮性和易用性。

3.1.5 性能考量

考虑到多项式可能非常庞大且稀疏，设计时选择了使用结构体数组的方式存储多项式，以节省空间资源，并实现动态维护长度，平衡多数情况下多项式存储的资源消耗。

3.2 主要用途

3.2.1 学术研究与教学领域

可作为数据结构与算法课程的实践案例，帮助学生理解顺序存储结构在多项式运算中的应用，以及模块化设计的思想，加深对数据结构、算法逻辑的掌握，为相关课程的学习和研究提供实践支持。

3.2.2 数学计算场景

能够高效地完成一元多项式的加法、减法、乘法和除法运算，可应用于数学问题求解、数学模型构建等场景，例如在多项式拟合、方程求解等数学计算中，对复杂的多项式进行运算处理，得到所需的结果。

3.2.3 工程与科学计算

在工程领域和科学研究中，常常会遇到涉及多项式的计算问题，如信号处理、控制系统分析、物理模型中的多项式表达与运算等。该程序可以对这些多项式进行准确的计算，为工程设计和科学研究提供计算支持，辅助相关人员进行分析和决策。

3.2.4 算法验证与开发

作为一个具体的算法实现，该程序可用于验证多项式运算算法的正确性和效率，为后续更复杂的算法开发和优化提供参考和基础。同时，其模块化的设计也便于在不同的应用场景中进行功能拓展和修改，满足不同的计算需求。

3.3 逻辑设计

3.3.1 数据类型

根据课题内容，本次需要实现的是一元多项式计算，其中多项式中最关键的两大部分即常系数和指数，进行计算时中主要通过合并同指数、求和或乘除常系数来实现。根据实现要求，本次数据结构设计采取顺序存储的方式，因此可选的数据结构包括使用纯数组方式和采取结构体数组的方式实现。

其中，纯数组的方式即直接通过定义一维数组的方式。利用纯数组时，索引恰好可以当成各个项的指数、值相乘各个项的常系数，借助这一天然优势，可以很方便地去实现多项式存储。但其严格的顺序存储格式，容易使得存储稀疏多项式时造成资源浪费，只适合指数连续且密集的多项式。

结构体数组的方式即通过一个结构体来定义多项式中的常系数和指数两大组成部分，然后使用结构体类型数组来存储多项，进而实现多项式的顺序存储。使用结构体数组的方式可以实现定长数组存储项，动态调整长度，其在项数较少以及稀疏多项式中有较大优势。

综合考虑，为节省空间资源，实现动态维护长度，平衡多数情况下多项式存储的资源消耗，本次设计的数据结构为结构体数组。其中，考虑到多项式的常系数可能为整数也可能为小数，因此将多项式的常系数的数据类型指定为双精度浮点型，而指数一般以整数出现，故指数指定为整型。

typedef struct

{

    double coef;  // 系数

    int exp;      // 指数

} Term;

typedef struct

{

    Term terms[MAX_TERM];  // 存储项的数组

    int length;            // 当前项数

} Polynomial;

Polynomial a, b;

3.3.2 抽象数据类型

根据本课题要求，程序需要实现的是一元多项式的计算，其中计算包括加法、减法、乘法和除法。首先，数据对象就是多项式中的各个项，这些数据会按照项的指数降序排列起来。要实现多项式的运算，则还需要一些基本操作，如多项式的存储（如多项式的初始化、创建、输入以及销毁）、多项式的运算（如加法、减法、乘法和除法）。

ADT Polynomial

{

    数据对象：D = {a_i | a_i ∈ Term, i=1,2,...,n; n≥0; Term表示系数-指数对}

    数据关系：R = {<a_i, a_j> | a_i.exp > a_j.exp, i<j; 项按指数降序排列}

    基本操作：

        InitPolynomial(&P)

            操作结果：初始化多项式P为空

        CreatePolynomial(&P)

            操作结果：根据输入创建多项式P

        PrintPolynomial(P)

            操作结果：输出多项式P的表达式

        AddPolynomials(P, Q, &R)

            输入：多项式P、Q

            输出：R = P + Q

        SubtractPolynomials(P, Q, &R)

            输入：多项式P、Q

            输出：R = P - Q

        MultiplyPolynomials(P, Q, &R)

            输入：多项式P、Q

            输出：R = P × Q

        DividePolynomials(P, Q, &quotient, &remainder)

            输入：被除数P、除数Q

            输出：商式quotient和余式remainder

        DestroyPolynomial(&P)

            操作结果：销毁多项式P，释放空间

} ADT Polynomial

3.4 程序设计框图

3.4 程序设计框图

4 详细设计

本课题为《一元多项式计算》，其核心目标是实现加减乘除等运算操作。根据课题实际需求和资源、空间方面的考虑，本次设计采用结构体数组这种顺序存储的方式对多项式的每一项进行存储。

接着，采用模块化设计[5]的思想，对于多项式相关部分，设计多项式的初始化、创建以及输出等模块，其中多项式的创建通过用户输入产生；对于运算操作部分，分别设计了合并同类项、加法、减法、乘法以及除法操作模块；为方便运算操作，还添加了辅助部分，其中放置辅助多项式运算操作的模块，如排序等。

最后，整合功能，在主调函数中设计了适当的用户交互，可根据用户需求输入一对一元多项式进行四种不同的计算。

4.1 模块功能说明

4.1.1 多项式基本操作模块

1、功能：负责多项式的基础管理，包括初始化、创建输入及结果打印。

2、包含函数：

1）Poly_Init(Polynomial* poly)：初始化多项式，将项数置为 0。

2）Poly_Create(Polynomial* poly)：接收用户输入的多项式系数和指数，创建多项式结构，并验证输入长度合法性。

3）Poly_Print(Polynomial* poly)：将多项式按规范格式输出（如处理符号、系数为 1 的省略规则、指数显示规则等）。

4.1.2 辅助功能模块

1、功能：提供多项式运算的辅助支持，主要用于项的排序。

2、包含函数：

1）AUX_BubbleSort(Polynomial* poly)：对多项式的项按指数降序排列，便于合并同类项和运算处理。

4.1.3 运算处理模块

1、功能：实现多项式的加减乘除核心运算，并处理中间结果。

2、包含函数：

1）OP_Process(...)：根据用户选择的运算类型（加减乘除），调度对应的运算函数。

2）OP_AddPoly(...)：实现多项式加法，合并同次项并计算系数和。

3）OP_SubPoly(...)：通过将减法转换为加法（被减数取反），调用加法模块实现。

4）OP_MergeTerms(...)：对多项式按指数排序后合并同次项，消除系数为 0 的项。

5）OP_MultiPoly(...)：实现多项式乘法，通过逐项相乘后合并同次项得到结果。

6）OP_DiviPoly(...)：模拟多项式长除法，计算商式和余式，依赖减法和合并同类项功能。

4.1.4 主函数模块

1、功能：控制程序流程，处理用户交互，协调各模块工作。

2、包含函数：

1）main()：初始化多项式结构，引导用户输入多项式 A 和 B，选择运算类型，调用运算模块并输出结果。

2）Calc_Output(...)：根据运算类型（如除法需显示商和余数），格式化输出运算结果。

4.2 函数调用关系图

以main()函数作为根节点，统筹程序的初始化、输入、运算和输出流程，形成自上而下的调用逻辑，然后分层次依次调用执行即可。

基础层：初始化模块（Poly_Init）、输入模块（Poly_Create）和排序模块（AUX_BubbleSort）为底层功能，被上层运算模块直接调用。

运算层：OP_Process作为运算调度中心，根据用户选择分流至加减乘除子模块，其中减法依赖加法实现，乘除法依赖合并同类项（OP_MergeTerms）处理中间结果。

输出层：Calc_Output统一处理结果格式化，最终通过Poly_Print显示多项式表达式。

其中，减法运算通过 “取反 + 加法” 实现，因此OP_SubPoly内部调用OP_AddPoly，形成模块间的功能复用。乘除法涉及大量同次项合并，需先通过AUX_BubbleSort排序，再调用OP_MergeTerms消除冗余项即可。

4.3 主程序执行流程图

5 测试过程与测试结果

测试过程可以通过提示来完成正常的输出，测试结果符合预期结果，但是预期结果表示商输出结果通过商余表示。

5.1 测试环境

电脑系统：Windows11

运行环境：vs2022。

5.2 测试用例设计

5.3 测试过程

1、测试编号1：加法功能测试

用户在程序中输入第一个多项式的项，系数为1、指数为5（对应x5）[2]，输入完成后以回车结束。继续输入第二个多项式的两项，分别为系数3、指数3（对应3x3）和系数4、指数5（对应4x5），回车结束。

在功能菜单中选择 “加法” 运算，此时程序输出结果多项式为5x5+3x3，与预期一致。

2、测试编号 2：减法功能测试

步骤同测试 1，输入相同的两个多项式，在菜单中选择 “减法”，此时程序输出结果为−3x5−3x3，符合预期。

3、测试编号 3：乘法功能测试

步骤同测试 1，输入相同的两个多项式，在菜单中选择 “乘法”，此时程序输出乘积为4x10+3x8，与预期一致。

4、测试编号 4：除法功能测试

步骤同测试 1，输入相同的两个多项式，在菜单中选择 “除法”，程序计算并输出商为 0.25，余数为−0.75x3，验证正确。

5、测试编号 5：负系数负指数运算测试

用户在程序中输入第一个多项式的项，系数-5、指数-6（对应−5x−6）和系数-7、指数-9（对应−7x−9），回车结束。继续输入第二个多项式的两项，系数-8、指数-1（对应−8x−1）和系数-9、指数-2（对应−9x−2），回车结束。

然后依次测试四则运算：

1）选择 “加法”，输出结果为−8x−1−9x−2−5x−6−7x−9；

2）选择 “减法”，输出结果为8x−1+9x−2−5x−6−7x−9；

3）选择 “乘法”，输出结果为40x−7+45x−8+56x−10+63x−11；

4）选择 “除法”，输出商为 0.00，余数为−5x−6−7x−9，均符合预期。

6、测试编号 6：含 0 指数项运算测试

用户在程序中输入第一个多项式的两项，系数6、指数0（对应常数6）和系数5、指数1（对应5x），回车结束（多项式为5x+6）。继续输入第二个多项式的三项，系数7、指数0（对应常数7）、系数9、指数1（对应9x）和系数8、指数8（对应8x8），回车结束（多项式为8x8+9x+7）。

依次测试四则运算：

1）选择 “加法”，输出结果为8x8+14x+13；

2）选择 “减法”，输出结果为−8x8−4x−1；

3）选择 “乘法”，输出结果为40x9+48x8+45x2+89x+42；

4）选择 “除法”，输出商为 0.00，余数为5x+6，均与预期一致。

5.4 测试结果

所有测试用例的输出结果均与预期一致，程序正确实现了一元多项式的四则运算、负系数负指数运算及含 0 指数项的处理，功能完整且逻辑正确。

6 总结分析

6.1 设计总结

本课程设计成功实现了一元多项式的四则运算（加法、减法、乘法、除法），采用 C 语言完成程序开发。通过结构体数组实现多项式的顺序存储，利用模块化设计将功能划分为输入、运算、辅助处理等模块，确保代码逻辑清晰且易于维护。测试结果表明，程序能够正确处理正/负系数、正/负指数及含0指数项等多种状态的多项式，基本满足设计要求。

6.2 技术总结

6.2.1 数据结构选择

采用结构体数组存储多项式项[1]，包含系数（double 类型）和指数（int 类型），通过动态维护数组长度优化稀疏多项式[1]的存储效率。

6.2.2 核心算法

1、加法/减法通过逐项比较指数合并同类项；

2、乘法通过逐项相乘[2]后合并同类项实现；

3、除法模拟长除法[3]逻辑，通过递归减去除数倍数得到商和余数[8]。

6.2.3 模块化设计

将功能拆分为输入模块、运算模块、辅助排序模块，降低耦合度，提升代码复用性。

6.3 不足与改进方向

6.3.1 现存问题

1、除法运算中余数处理可能未完全符合数学定义（如余数次数应小于除数次数），需进一步优化长除法逻辑[6]。

2、输入验证不够严格，未处理非法字符（如字母、符号）的输入场景。

6.3.2 改进方向

1、引入链表存储结构[1]，解决顺序存储在稀疏多项式场景下的空间浪费问题；

2、添加图形用户界面（GUI），提升交互体验；

3、优化算法效率[7] [9]，如程序采用更高效的指数排序[4]策略。

7 参考资料

[1] 严蔚敏，吴伟民，李冬梅。数据结构（C 语言版）（第 2 版）[M]. 北京：清华大学出版社，2023.

[2] Brian W. Kernighan，Dennis M. Ritchie. C 程序设计语言（第 2 版・新版）[M]. 北京：机械工业出版社，2021.

[3] Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson，Ronald L. Rivest，Clifford Stein. 算法导论（第 4 版）[M]. 北京：机械工业出版社，2022.

[4] 王红梅，胡明，王涛。数据结构（C 语言版）（第 3 版）[M]. 北京：清华大学出版社，2022.

[5] 谭浩强. C 程序设计（第五版・新印次）[M]. 北京：清华大学出版社，2024.

[6] 李忠，刘播。数值分析（第 5 版）[M]. 北京：高等教育出版社，2023.

[7] 陈宝林。最优化理论与算法（第四版）[M]. 北京：清华大学出版社，2024.

[8] 周磊，张宇。程序设计竞赛中的算法进阶与实践 [M]. 北京：电子工业出版社，2023.

[9] 赵启阳。高效算法设计与分析：从基础到竞赛 [M]. 上海：上海交通大学出版社，2022.

8 附录

8.1 源程序清单基于C语言的一元多项式简单运算参考程序https://github.com/BreezeJuvenile/DataStructure-Algorithm_Design-Unary-polynomial-calculations

以上便是本次文章的所有内容，欢迎各位朋友在评论区讨论，本人也是一名初学小白，愿大家共同努力，一起进步吧！

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