2025年受自适应差分进化-无人机路径规划的统一元启发式框架-附Matlab完整代码

1.简介

与通常从单一生物或集体行为中汲取灵感的传统元启发式算法不同，本文从整体自然角度引入了一种新颖的元启发式方法。借鉴生物进化、种群内集体行为和生态系统自我调节机制的原理，所提出的算法被称为自然启发自适应差分进化（NIADE）。通过整合多种策略和全局优化概念，NIADE有效地解决了以众多相互作用变量为特征的复杂问题，从而克服了现有算法固有的限制，这些限制主要依赖于单一策略或局部优化方法。这种集成为解决复杂的优化挑战提供了创新途径。
该算法的性能使用CEC2017和CEC2022的基准函数进行评估，并与七种主要算法进行比较。通过Wilcoxon秩和检验和Friedman检验统计的统计分析证实了NIADE的优越性。此外，NIADE在解决多约束现实世界工程问题方面的有效性通过CEC2020现实世界约束问题集得到验证。此外，通过建模和实际实验证明了其在无人机（UAV）路径规划中的适用性，在该领域提出了一个有希望的新解决方案。最后，本文讨论了NIADE算法的潜在改进和未来研究方向。

2. 提出的NiADE算法

本节阐述NiADE算法的数学模型，分析其探索与开发机制，并提供伪代码及计算复杂度分析。

2.1.1 种群初始化

NiADE算法通过随机生成候选解初始化种群，每个解代表个体。如公式（1）所示，单个解的结构为：
$$X=[x_1,x_2,\cdots ,x_D]\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$D$为解空间维度。对于$N$个个体求解$D$维问题，解空间表示为公式（2）：
$$X_S=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_{1,1}& x_{1,2}& \dots & x_{1,D-1}& x_{1,D}\\ x_{2,1}& x_{2,2}& \dots & x_{2,D-1}& x_{2,D}\\ ⋮& ⋮& \dots & ⋮& ⋮\\ x_{N-1,1}& x_{N-1,2}& \dots & x_{N-1,D-1}& x_{N-1,D}\\ x_{N,1}& x_{N,2}& \dots & x_{N,D-1}& x_{N,D}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
$X_S$为解空间矩阵，$x_{N,D}$表示第$N$个个体在第$D$维的解。每个解按公式（3）生成：
$$x_i=lb+\text{rand}(0,1)\times (ub-lb),i=1,2,\dots ,N\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$lb$和$ub$分别为解空间下界和上界，$\text{rand}(0,1)$为[0,1]区间的随机数。

2.1.2 差分进化策略

差分进化通过变异和交叉操作更新个体，NiADE采用该策略增强种群多样性和全局搜索能力。

（1）变异
为每个个体随机选择三个不同个体，生成变异向量$V_i$：
$$V_i=X_{r1}+F\times (X_{r2}-X_{r3})\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$F$为缩放因子，$X_{r1},X_{r2},X_{r3}$为随机选择的个体。

（2）交叉
变异向量$V_i$与当前个体$X_i$交叉生成试验向量$U_i$：
$$U_i[j]=\{\begin{array}{ll}{V}_i[j],& \text{if }\text{rand}(0,1)\le CR\text{ or }j=j_{\text{rand}}\\ X_i[j],& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
$CR$为交叉概率，$j_{\text{rand}}$为随机维度以确保至少一个维度来自变异向量。

2.1.3 黄金比例策略

该策略利用黄金比例$g$的数学特性更新惯性权重$W$，平衡探索与开发能力。位置更新公式为：
$$X_{\text{new},j}=W\times U_i+(1-W)\times X_i\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中$W=(0.5\times \text{rand}/2)\sim g$，$g$为黄金比例值（未完全显示）。

2.1.4多样性保持策略

多样性保持策略的主要目标是通过维持搜索空间的全局多样性，防止算法过早收敛至局部最优。具体实现方式为每10次迭代重新初始化10%的种群个体。这种周期性重启机制通过引入随机搜索成分，既保持了多样性又拓展了全局搜索范围。整体上，该策略通过持续维护种群多样性和适应性，降低陷入局部最优的风险，提升算法处理复杂多峰优化问题的性能。

2.1.5 精英保留策略

精英策略通过在迭代过程中保留历史最优解，增强算法的稳定性和适应性。其核心原理如公式（7）所示，从当前种群筛选适应度最高的个体单独存储，并在每代迭代结束时将其重新注入种群，确保优质解不被淘汰：

$$\text{Positions}[\text{end}-\text{EliteCount}+1:\text{end}]=\text{ElitePositions}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中$\text{ElitePositions}$为当代最优解集合，$\text{EliteCount}$为精英解数量，$\text{end}$表示当前种群末尾序号。该策略显著提升了算法收敛的可靠性。

2.1.6 局部搜索策略

对当前最优个体执行局部搜索以提升解的质量，如公式（8）所示通过自适应扰动实现精细探索：

$$X_{\text{new},d}=X_d^{\prime }+(\text{rand}\times 2-1)\times 0.1\times (u{b}_d-l{b}_d)\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中：

• $X_{\text{new},d}$：第$d$维局部搜索生成的新解坐标
• $X_d^{\prime }$：当前全局最优解在第$d$维的坐标
• $\text{rand}$：[0,1]均匀分布的随机数，$(rand\times 2-1)$将扰动扩展至[-1,1]区间
• $0.1$：扰动比例因子（可调），限制扰动范围为搜索空间长度的10%
• $u{b}_d$/$l{b}_d$：第$d$维上下界，定义扰动绝对幅度

2.2.7突变因子F

根据表9和图1（a）中的敏感性分析结果，突变因子F显著影响NIADE算法的性能。该算法在F=0.4时实现了最佳性能，排名第一。它还与分别排名第二和第三的F=0.3和F=0.2竞争，表明在该范围内有效优化。然而，当F超过0.4时，平均排名逐渐恶化，表明性能下降。这一趋势归因于突变向量Vi的幅度增加，导致每次迭代的位置变化更大。因此，全局搜索变得过于稀疏，导致探索不足。
相反，当F=0.1时，算法的排名与F=0.2相比急剧下降，反映了较差的性能。较小的F值产生较弱的突变效应和不充分的位置调整，从而降低全局搜索效率并增加过早收敛到局部最优的风险。因此，选择合适的F值至关重要。不合适的值会显着损害算法有效性。在这项研究中，F=0.4被确定为最优，提供了有利于有效探索解空间的平衡权衡。

2.2.8交叉概率CR

引入交叉概率CR以增强解的多样性并降低算法陷入局部最优的风险。该参数的灵敏度分析结果如表10所示，相应的平均排名结果如图1（b）所示。实验结果表明，当CR=0.9时，NIADE算法表现最好，排名第一。这表明较高的CR值有助于更多样化的解空间，这反过来又降低了过早收敛的可能性并维持了算法的搜索有效性。此外，图1（b）表明，其他CR值之间的性能变化相对较小，表明算法对该参数不高度敏感。这种稳定性增强了算法对广泛问题的适用性，降低了由于参数波动导致性能下降的风险。总之，选择合适的CR参数。值对于保持算法的稳定性和鲁棒性很重要。精心选择的CR促进了解的多样性并加强了整体性能。基于这些发现，本研究采用CR=0.9来确保最佳算法行为图2，图3，图4，图5。

function [best_score, best_pos, Convergence_curve] = NIADE(N, Max_iter, lb, ub, dim, fobj)
% NIADE: Differential Evolution + 少量局部搜索 + 精英保留
% 适用于最小化问题；若要最大化，可传入 @(x)-f(x)

    % ---- 边界向量化（支持标量或向量） ----
    if numel(lb) == 1, lb = repmat(lb, 1, dim); else, lb = lb(:)'; end
    if numel(ub) == 1, ub = repmat(ub, 1, dim); else, ub = ub(:)'; end

    % ---- 参数 ----
    F = 0.4;                % 变异因子
    CR = 0.9;               % 交叉概率
    golden_ratio = (1 + sqrt(5)) / 2;

    % ---- 初始化 ----
    Positions = initialization(N, dim, lb, ub);  % 种群
    Fit       = inf(1, N);                       % 适应度（最小化）
    X_NEW     = Positions;
    Fit_NEW   = Fit;

    best_pos   = zeros(1, dim);
    best_score = inf;
    Convergence_curve = zeros(1, Max_iter);

    % ---- 主循环 ----
    iter = 1;
    while iter <= Max_iter

        % 1) 评估与全局最优更新
        for i = 1:N
            Fit_NEW(i) = fobj(X_NEW(i, :));

            if Fit_NEW(i) < Fit(i)
                Fit(i)        = Fit_NEW(i);
                Positions(i,:)= X_NEW(i, :);
            end

            if Fit(i) < best_score
                best_score = Fit(i);
                best_pos   = Positions(i, :);
            end
        end

        % 2) DE 生成下一代
        for i = 1:N
            % 任选三个不同个体
            idx = randperm(N, 3);
            while any(idx == i)
                idx = randperm(N, 3);
            end
            X1 = Positions(idx(1), :);
            X2 = Positions(idx(2), :);
            X3 = Positions(idx(3), :);

            % 变异
            V = X1 + F * (X2 - X3);
            V = boundConstraint(V, Positions(i, :), lb, ub);

            % 交叉（binomial）
            j_rand = randi(dim);
            U = Positions(i, :);
            for j = 1:dim
                if rand <= CR || j == j_rand
                    U(j) = V(j);
                end
            end

            % 引入 golden-ratio 惯性权重
            w = (0.5 + rand / 2) * golden_ratio;
            X_NEW(i, :) = w * U + (1 - w) * Positions(i, :);

            % 范围约束
            X_NEW(i, :) = boundConstraint(X_NEW(i, :), Positions(i, :), lb, ub);
        end

        % 3) 多样性维护：每 10 代重启 10%
        if mod(iter, 10) == 0
            num_to_restart = ceil(N * 0.1);
            restart_idx = randperm(N, num_to_restart);
            Positions(restart_idx, :) = initialization(num_to_restart, dim, lb, ub);
            Fit(restart_idx) = inf;
        end

        % 4) 精英保留（1 个）
        elite_count = 1;
        [~, sort_idx] = sort(Fit);
        elite_positions = Positions(sort_idx(1:elite_count), :);
        elite_fitness   = Fit(sort_idx(1:elite_count));
        Positions(end-elite_count+1:end, :) = elite_positions;
        Fit(end-elite_count+1:end)          = elite_fitness;

        % 5) 最优解的坐标邻域局部搜索（逐维扰动）
        for d = 1:dim
            local_pos = best_pos;
            perturb = 0.1 * (ub(d) - lb(d));                 % 10% 扰动
            local_pos(d) = local_pos(d) + (2*rand - 1)*perturb;
            local_pos = boundConstraint(local_pos, best_pos, lb, ub);

            local_fit = fobj(local_pos);
            if local_fit < best_score
                best_score = local_fit;
                best_pos   = local_pos;
            end
        end

        % 记录收敛曲线
        Convergence_curve(iter) = best_score;

        % 控制台日志
        fprintf('NIADE: t=%d  best=%.6g\n', iter, best_score);

        iter = iter + 1;
    end
end


% ----------------- 工具函数 -----------------

function newPos = boundConstraint(newPos, oldPos, lb, ub)
% 将越界维度回退到 oldPos 的对应分量
% 支持行向量或矩阵输入（每行一个个体）

    rows = size(newPos, 1);
    xl = repmat(lb, rows, 1);
    xu = repmat(ub, rows, 1);

    if isvector(oldPos)
        oldRep = repmat(oldPos, rows, 1);
    else
        oldRep = oldPos;
    end

    lowMask  = newPos < xl;
    highMask = newPos > xu;

    newPos(lowMask)  = oldRep(lowMask);
    newPos(highMask) = oldRep(highMask);
end


function Positions = initialization(SearchAgents_no, dim, lb, ub)
% 在 [lb, ub] 区间均匀随机初始化
    if numel(lb) == 1, lb = repmat(lb, 1, dim); end
    if numel(ub) == 1, ub = repmat(ub, 1, dim); end
    delta = repmat(ub - lb, SearchAgents_no, 1);
    LBmat = repmat(lb, SearchAgents_no, 1);
    Positions = rand(SearchAgents_no, dim) .* delta + LBmat;
end

Fan S, Wang R, Song Y, Crosbee D, Su K. Nature-Inspired Adaptive Differential Evolution: A Unified Meta-Heuristic Framework for Complex Engineering Optimisation and UAV Path Planning[J]. Results in Engineering, 2025, 106530. https://doi.org/10.1016/j.rineng.2025.106530